História da Matemática

História da Matemática

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

 

 NÚMEROS

A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.

A LINGUAGEM DOS NÚMEROS

Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.

O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.

O corvo assassinado

Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.

As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.

Limitações vêm de longe

Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente desprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro.

Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens européias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito).

Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.

Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.

O número sem contagem

Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.

Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.

A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra.

A idéia de correspondência

A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3...

A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um, mas por zero, e escreveria 0, 1, 2, 3, 4...

A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.

Do relativo ao absoluto

Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.

Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleção, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.

Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.

É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita.

Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível exceção de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos lingüísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.

Palavras que representam números em algumas línguas indo-européias:

Grego arcaico

Latim

Alemão

Inglês

Francês

Russo

1

en

unus

eins

one

un

odyn

2

duo

duo

zwei

two

deux

dva

3

tri

tres

drei

three

trois

tri

4

tetra

quatuor

vier

four

quatre

chetyre

5

pente

quinque

fünf

five

cinq

piat

6

hex

sex

sechs

six

six

chest

7

hepta

septem

sieben

seven

sept

sem

8

octo

octo

acht

eight

huit

vosem

9

ennea

novem

neun

nine

neuf

deviat

10

deca

decem

zehn

ten

dix

desiat

100

hecaton

centum

hundert

hundred

cent

sto

1000

xilia

mille

tausend

thousand

mille

tysiatsa

 

 

HISTÓRIA DA GEOMETRIA

Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o movimento dos astros. Um compasso antigo. Um vetusto esquadro e, sob ele, a demonstração figurada do teorema de Pitágoras. Um papiro com desenhos geométricos e o busto do grande Euclides. São etapas fundamentais no desenvolvimento da Geometria. Mas, muito antes da compilação dos conhecimentos existentes, os homens criavam, ao sabor da experiência, as bases da Geometria. E realizavam operações mentais que depois seriam concretizadas nas figuras geométricas.

Uma medida para a vida

As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas. Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons conhecimentos do assunto, geralmente ligados à astrologia. Na Grécia, porém, é que o gênio de grandes matemáticos lhes deu forma definitiva. Dos gregos anteriores a Euclides, Arquimedes e Apolônio, consta apenas o fragmento de um trabalho de Hipócrates. E o resumo feito por Proclo ao comentar os "Elementos" de Euclides, obra que data do século V a.C., refere-se a Tales de Mileto como o introdutor da Geometria na Grécia, por importação do Egito.

Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo-retângulo, que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. Mas enquanto a escola pitagórica do século (VI a.C). constituía uma espécie de seita filosófica, que envolvia em mistério seus conhecimentos, os "Elementos" de Euclides representam a introdução de um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para o progresso das ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e proposições admitidos sem demonstração (postulados o axioma) para construir de maneira lógica tudo o mais. Assim, três conceitos fundamentais - o ponto, a reta e o círculo - e cinco postulados a eles referentes servem de base para toda Geometria chamada euclidiana, útil até hoje, apesar da existência de geometrias não-euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides.

O corpo como unidade

As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano: palmo, pé, passo, braça, cúbito. Por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no Egito começaram a serem construídos os primeiros templos - seus projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes do corpo de um único homem (geralmente o rei) e com essas medidas construíram réguas de madeira e metal, ou cordas com nós, que foram as primeiras medidas oficiais de comprimento.

Ângulos e figuras

Tanto entre os sumérios como entre os egípcios, os campos primitivos tinham forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a construírem muitos ângulos retos (de 90º). Embora de bagagem intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de compassos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos.

O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, a perpendicular a uma reta. O processo anterior não resolve este problema, em que o vértice do ângulo reto já está determinado de antemão. Os antigos geômetras, o solucionavam por meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triângulo-retângulo. Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades respectivamente. O teorema de Pitágoras explica porque: em todo triângulo-retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). E 32+42=52, isto é, 9+16=25.

Qualquer trio de números inteiros ou não que respeitem tal relação definem triângulos-retângulos, que já na antiguidade foram padronizados na forma de esquadros.

Para medir superfícies

Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a fórmula da área do retângulo: multiplicar a base pela altura.

Já para descobrir a área do triângulo, os antigos fiscais seguiram um raciocínio extremamente geométrico. Para acompanhá-lo, basta tomar um quadrado ou um retângulo e dividí-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9 "casas" e o retângulo 12. Esses números exprimem então a área dessas figuras. Cortando o quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem dois triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área do quadrado.

Quando deparavam com uma superfície irregular da terra (nem quadrada, nem triangular), os primeiros cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício conhecido como triangulação: começando num ângulo qualquer, traçavam linhas a todos os demais ângulos visíveis do campo, e assim este ficava completamente dividido em porções triangulares, cujas áreas somadas davam a área total. Esse método - em uso até hoje - produzia pequenos erros, quando o terreno não era plano ou possuía bordos curvos.

 

 

 

De fato, muitos terrenos seguem o contorno de um morro ou o curso de um rio. E construções há que requerem uma parede curva. Assim, um novo problema se apresenta: como determinar o comprimento de uma circunferência e a área de um círculo. Por circunferência entende-se a linha da periferia do círculo, sendo este uma superfície. Já os antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos, grandes ou pequenos, era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la em torno de um ponto fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da figura. O comprimento dessa corda - conhecido hoje como raio - tinha algo a ver com o comprimento da circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a circunferência para ver quanta vez cabia nela, puderam comprovar que cabia um pouco mais de seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse o tamanho da corda, o resultado era o mesmo. Assim tiraram algumas conclusões: a) o comprimento de uma circunferência é sempre cerca de 6,28 vezes maior que o de seu raio; b) para conhecer o comprimento de uma circunferência, basta averiguar o comprimento do raio e multiplicá-lo por 6,28.

E a área do círculo? A história da Geometria explica-a de modo simples e interessante. Cerca de 2000 anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes matutava diante do desenho de um círculo no qual havia traçado o respectivo raio. Seu propósito era encontrar a área da figura.

Conta a tradição que Ahmes solucionou o problema facilmente: antes, pensou em determinar a área de um quadrado e calcular quantas vezes essa área caberia na área do círculo. Que quadrado escolher? Um qualquer? Parecia razoável tomar o que tivesse como lado o próprio raio da figura. Assim fez, e comprovou que o quadrado estava contido no círculo mais de 3 vezes e menos de 4, ou aproximadamente, três vezes e um sétimo (atualmente dizemos 3,14 vezes). Concluiu então que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14.

O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática. Os gregos tornaram-no um pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolo p ("pi") representa esse número irracional, já determinado com uma aproximação de várias dezenas de casas decimais. Seu nome só tem uns duzentos anos e foi tirado da primeira sílaba da palavra peripheria, significando circunferência.

Novas figuras

Por volta de 500 a.C., as primeiras universidades eram fundadas na Grécia. Tales e seu discípulo Pitágoras coligiram todo o conhecimento do Egito, da Etúrria, da Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à matemática, navegação e religião. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.

Uma dessas figuras foi chamada polígono, do grego polygon, que significa "muitos ângulos". Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por intermédio de avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento de radar e outros aparelhos. O que não é de estranhar"desde os tempos da antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas práticos. Dos problemas que os gregos conseguiram solucionar, dois merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um observador e o cálculo da altura de uma construção.

No primeiro caso, para calcular, por exemplo, a distância de um barco até a costa, recorria-se a um curioso artifício. Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º. Isto feito, a nave e os dois observadores ficavam exatamente nos vértices de um triângulo isósceles, porque os dois ângulos agudos mediam 45º cada um, e portanto os catetos eram iguais. Bastava medir a distância entre os dois observadores para conhecer a distância do barco até a costa.

 

 

 

O cálculo da altura de uma construção, de um monumento ou de uma árvore é também muito simples: crava-se verticalmente uma estaca na terra e espera-se o instante em que a extensão de sua sombra seja igual à sua altura. O triângulo formado pela estaca, sua sombra e a linha que une os extremos de ambos é isósceles. Basta medir a sombra para conhecer a altura.

 

 

HISTÓRIA DA ÁLGEBRA
(uma visão geral)


Fonte: Tópicos de História da Matemática - John K. Baumgart

 

Estranha e intrigante é a origem da palavra "álgebra". Ela não se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do grego arithmos ("número"). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm). Este trabalho de álgebra é com frequência citado, abreviadamente, como Al-jabr.


Uma tradução literal do título completo do livro é a "ciência da restauração (ou reunião) e redução", mas matematicamente seria melhor "ciência da transposição e cancelamento"- ou, conforme Boher, "a transposição de termos subtraídos para o outro membro da equação" e "o cancelamento de termos semelhantes (iguais) em membros opostos da equação". Assim, dada a equação:


x2 + 5x + 4 = 4 - 2x + 5x3

al-jabr fornece
x2 + 7x + 4 = 4 + 5x3

e al-muqabalah fornece
x2 + 7x = 5x3

Talvez a melhor tradução fosse simplesmente "a ciência das equações".
Ainda que originalmente "álgebra" refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases:
(1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las.
(2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis e corpos - para mencionar apenas algumas.
De fato, é conveniente traçar o desenvolvimento da álgebra em termos dessas duas fases, uma vez que a divisão é tanto cronológica como conceitual.


Equações algébricas e notação

 

A fase antiga (elementar), que abrange o período de 1700 a.C. a 1700 d.C., aproximadamente, caracterizou-se pela invenção gradual do simbolismo e pela resolução de equações (em geral coeficientes numéricos) por vários métodos, apresentando progressos pouco importantes até a resolução "geral" das equações cúbicas e quárticas e o inspirado tratamento das equações polinomial em geral feito por François Viète, também conhecido por Vieta (1540-1603).


O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: o retórico (ou verbal), o sincopado (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o simbólico. No último estágio, a notação passou por várias modificações e mudanças, até tornar-se razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton. É interessante notar que, mesmo hoje, não há total uniformidade no uso de símbolos. Por exemplo, os americanos escrevem "3.1416" como aproximação de Pi, e muitos europeus escrevem "3,1416". Em alguns países europeus, o símbolo "÷" significa "menos". Como a álgebra provavelmente se originou na Babilônia, parece apropriado ilustrar o estilo retórico com um exemplo daquela região. O problema seguinte mostra o relativo grau de sofisticação da álgebra babilônica. É um exemplo típico de problemas encontrados em escrita cuneiforme, em tábuas de argila que remontam ao tempo do rei Hammurabi. A explanação, naturalmente, é feita em português; e usa-se a notação decimal indo-arábica em vez da notação sexagesimal cuneiforme. A coluna à direita fornece as passagens correspondentes em notação moderna. Eis o exemplo:


[1] Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim a área: 252. Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura.

 

[2] [Dado] 32 soma; 252 área.

x+y=k

xy=P     } ... (A)

[3] [Resposta] 18 comprimento; 14 largura.

 

[4] Segue-se este método: Tome metade de 32 [que é 16].

k/2

16 x 16 = 256

(k/2)2

256 - 252 = 4

(k/2)2 - P = t2    } ... (B)

A raiz quadrada de 4 é 2.

 

16 + 2 = 18 comprimento.

(k/2) + t = x.

16 - 2 = 14 largura

(k/2) - t = y.

[5] [Prova] Multipliquei 18 comprimento por 14 largura.

18 x 14 = 252 área

((k/2)+t) ((k/2)-t)

= (k2/4) - t2 = P = xy.

 

Nota-se que na etapa [1] o problema é formulado, na [2] os dados são apresentados, na [3] a resposta é dada, na [4] o método de solução é explicado com números e, finalmente, na [5] a resposta é testada.

A "receita" acima é usada repetidamente em problemas semelhantes. Ela tem significado histórico e interesse atual por várias razões.

 

Antes de tudo não é a maneira como resolveríamos hoje o sistema (A). O procedimento padrão nos atuais textos escolares de álgebra é resolver, digamos, a primeira equação para y (em termos de x), substituir na segunda equação e, então, resolver a equação quadrática resultante em x; isto é, usaríamos o método de substituição. Os babilônios também sabiam resolver sistemas por substituição, mas frequentemente preferiam usar seu método paramétrico. Ou seja, usando-se notação moderna, eles concebiam x e y em termos de uma nova incógnita (ou parâmetro) t fazendo x=(k/2)+t e y=(k/2)-t.

 

Então o produto

xy =  ((k/2) + t) ((k/2) - t)  =  (k/2)2 - t2   =  P

levava-os à relação (B):

(k/2)2 - P =  t2

 

Em segundo lugar, o problema acima tem significado histórico porque a álgebra grega (geométrica) dos pitagóricos e de Euclides seguia o mesmo método de solução - traduzida, entretanto, em termos de segmentos de retas e áreas e ilustrada por figuras geométricas. Alguns séculos depois, outro grego, Diofanto, também usou a abordagem paramétrica em seu trabalho com equações "diofantinas". Ele deu início ao simbolismo moderno introduzindo abreviações de palavras e evitando o estilo um tanto intrincado da álgebra geométrica.

Em terceiro lugar, os matemáticos árabes (inclusive al-Khowarizmi) não usavam o método empregado no problema acima; preferiam eliminar uma das incógnitas por substituição e expressar tudo em termos de palavras e números.

Antes de deixar a álgebra babilônica, notemos que eles eram capazes de resolver uma variedade surpreendente de equações, inclusive certos tipos especiais de cúbicas e quárticas - todas com coeficientes numéricos, naturalmente.


Álgebra no Egito

 

A álgebra surgiu no Egito quase ao mesmo tempo que na Babilônia; mas faltavam à álgebra egípcia os métodos sofisticados da álgebra babilônica, bem como a variedade de equações resolvidas, a julgar pelo Papiro Moscou e o Papiro Rhind - documentos egípcios que datam de cerca de 1850 a.C. e 1650 a.C., respectivamente, mas refletem métodos matemáticos de um período anterior. Para equações lineares, os egípcios usavam um método de resolução consistindo em uma estimativa inicial seguida de uma correção final - um método ao qual os europeus posteriormente deram o nome umtanto abstruso de "regra da falsa posição". A álgebra do Egito, como a da Babilônia, era retórica.

O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em comparação com o dos babilônios, ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia. Os matemáticos europeus do século XVI tiveram de estender a noção indo-arábica de número antes de poderem avançar significativamente além dos resultados babilônios de resolução de equações.


Álgebra geométrica grega

 

A álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides era geométrica. Por exemplo, o que nós escrevemos como:

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

era concebido pelos gregos em termos do diagrama apresentado na Figura 1 e era curiosamente enunciado por Euclides em Elementos, livro II, proposição 4:

Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contém. [Isto é, (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.]

Somos tentados a dizer que, para os gregos da época de Euclides, a2 era realmente um quadrado.

Não há dúvida de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilônica e, de fato, seguiam os métodos-padrão babilônios de resolução de equações. Euclides deixou registrados esses resultados pitagóricos. Para ilustrá-lo, escolhemos o teorema correspondente ao problema babilônio considerado acima.

 

 

 

Do livro VI dos Elementos, temos a proposição 28 (uma versão simplificada):

Dada uma linha reta AB [isto é, x+y=k], construir ao longo dessa linha um retângulo com uma dada área [xy = P], admitindo que o retângulo "fique aquém" em AB por uma quantidade "preenchida" por outro retângulo [o quadrado BF na Figura 2], semelhante a um dado retângulo [que aqui nós admitimos ser qualquer quadrado].

 

 

 

Na solução desta construção solicitada (Fig.2) o trabalho de Euclides é quase exatamente paralelo à solução babilônica do problema equivalente. Conforme indicado por T.L.Heath / EUCLID: II, 263/, os passos são os seguintes:

 

Bissecte AB em M:

k/2

Construa o quadrado MBCD:

(k/2)2

Usando VI, 25, construa o quadrado DEFG com área igual ao excesso de MBCD sobre a área dada P:

t2 = (k/2)2 - P

Então é claro que

y = (k/2) - t

 

Como fazia frequentemente, Euclides deixou o outro caso para o estudante - neste caso, x=(k/2)+t, o que Euclides certamente percebeu mas não formulou.

É de fato notável que a maior parte dos problemas-padrão babilônicos tenham sido "refeitos" desse modo por Euclides. Mas por quê? O que levou os gregos a darem à sua álgebra esta formulação desajeitada? A resposta é básica: eles tinham dificuldades conceituais com frações e números irracionais.

 

Mesmo que os matemáticos gregos fossem capazes de contornar as frações, tratando-as como razões de inteiros, eles tinham dificuldades insuperáveis com números como a raiz quadrada de 2, por exemplo. Lembramos o "escândalo lógico" dos pitagóricos quando descobriram que a diagonal de um quadrado unitário é incomensurável com o lado (ou seja, diag/lado é diferente da razão de dois inteiros).

Assim, foi seu estrito rigor matemático que os forçou a usar um conjunto de segmentos de reta como domínio conveniente de elementos. Pois, ainda que raiz quadrada de 2 não possa ser expresso em termos de inteiros ou suas razões, pode ser representado como um segmento de reta que é precisamente a diagonal do quadrado unitário. Talvez não seja apenas um gracejo dizer que o contínuo linear era literalmente linear.

 

De passagem devemos mencionar Apolônio (c. 225 a.C.), que aplicou métodos geométricos ao estudo das secções cônicas. De fato, seu grande tratado Secções cônicas contém mais geometria analítica das cônicas - toda fraseada em terminologia geométrica - do que os cursos universitários de hoje.

A matemática grega deu uma parada brusca. A ocupação romana tinha começado, e não encorajava a erudição matemática, ainda que estimulasse alguns outros ramos da cultura grega. Devido ao estilo pesado da álgebra geométrica, esta não poderia sobreviver somente na tradição escrita; necessitava de um meio de comunicação vivo, oral. Era possível seguir o fluxo de idéias desde que um instrutor apontasse para diagramas e explicasse; mas as escolas de instrução direta não sobreviveram.


Álgebra na Europa

A álgebra que entrou na Europa (via Liber abaci de Fibonacci e traduções) havia regredido tanto em estilo como em conteúdo. O semi-simbolismo (sincopação) de Diofanto e Brahmagupta e suas realizações relativamente avançadas não estavam destinados a contribuir para uma eventual irrupção da álgebra.

A renascença e o rápido florescimento da álgebra na Europa foram devidos aos seguintes fatores:

  1. facilidade de manipular trabalhos numéricos através do sistema de numeração indo-arábico, muito superior aos sistemas (tais como o romano) que requeriam o uso do ábaco;
  2. invenção da imprensa com tipos móveis, que acelerou a padronização do simbolismo mediante a melhoria das comunicações, baseada em ampla distribuição;
  3. ressurgimento da economia, sustentando a atividade intelectual; e a retomada do comércio e viagens, facilitando o intercâmbio de idéias tanto quanto de bens.

Cidades comercialmente fortes surgiram primeiro na Itália, e foi lá que o renascimento algébrico na Europa efetivamente teve início.

 

 

A História da Matemática Comercial e Financeira

Trabalho fornecido ao Só Matemática pelo
Prof. Jean Piton-Gonçalves em agosto de 2005

I-) Introdução

 

É bastante antigo o conceito de juros, tendo sido amplamente divulgado e utilizado ao longo da História. Esse conceito surgiu naturalmente quando o Homem percebeu existir uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo. Processos de acumulação de capital e a desvalorização da moeda levariam normalmente a idéia de juros, pois se realizavam basicamente devido ao valor temporal do dinheiro.

As tábuas mais antigas mostram um alto grau de habilidade computacional e deixam claro que o sistema sexagesimal posicional já estava de longa data estabelecida. Há muitos textos desses primeiros tempos que tratam da distribuição de produtos agrícolas e de cálculos aritméticos baseados nessas transações. As tábuas mostram que os sumérios antigos estavam familiarizados com todos os tipos de contratos legais e usuais, como faturas, recibos, notas promissórias, crédito, juros simples e compostos, hipotecas, escrituras de venda e endossos.

Há tábuas que são documentos de empresas comerciais e outras que lidam com sistemas de pesos e medidas. Muitos processos aritméticos eram efetuados com a ajuda de várias tábuas.Das 400 tábuas matemáticas cerca de metade eram tábuas matemáticas. Estas últimas envolvem tábuas de multiplicação, tábuas de inversos multiplicativos, tábuas de quadrados e cubos e mesmo tábuas de exponenciais. Quanto a estas, provavelmente eram usadas, juntamente com a interpelação, em problemas de juros compostos. As tábuas de inversos eram usadas para reduzir a divisão à multiplicação.

 

II-) Os Juros e os Impostos

Os juros e os impostos existem desde a época dos primeiros registros de civilizações existentes na Terra. Um dos primeiros indícios apareceu na já na Babilônia no ano de 2000 aC. Nas citações mais antigas, os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras conveniências emprestadas; os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens. Muitas das práticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empréstimo e devolução de sementes e de outros produtos agrícolas.

A História também revela que a idéia se tinha tornado tão bem estabelecida que já existia uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC, com os escritórios centrais na Babilônia. Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o financiamento do comércio internacional. O juro não é apenas uma das nossas mais antigas aplicações da Matemática Financeira e Economia, mas também seus usos sofreram poucas mudanças através dos tempos.

Como em todas as instruções que tem existido por milhares de anos, algumas das práticas relativas a juros tem sido modificadas para satisfazerem às exigências atuais, mas alguns dos antigos costumes ainda persistem de tal modo que o seu uso nos dias atuais ainda envolve alguns procedimentos incômodos. Entretanto, devemos lembrar que todas as antigas práticas que ainda persistem foram inteiramente lógicas no tempo de sua origem. Por exemplo, quando as sementes eram emprestadas para a semeadura de uma certa área, era lógico esperar o pagamento na próxima colheita - no prazo de um ano. Assim, o cálculo de juros numa base anual era mais razoável; tão quanto o estabelecimento de juros compostos para o financiamento das antigas viagens comerciais, que não poderiam ser concluídas em um ano.Conforme a necessidade de cada época, foi se criando novas formas de se trabalhar com a relação tempo-juros (juros semestral, bimestral, diário, etc).

Há tábuas nas coleções de Berlirn, de Yale e do Louvre que contêm problemas sobre juros compostos e há algumas tábuas em Istambul que parecem ter sido original- mente tábuas de a' para n de 1 a 10 e para a = 9, 16, 100 e 225. Com essas tábuas podem-se resolver equações exponenciais do tipo a' = b. Em uma tábua do Louvre, de cerca de 1700 a.C., há o seguinte problema: Por quanto tempo deve-se aplicar uma certa soma de dinheiro a juros compostos anuais de 20% para que ela dobre?.

A História da Matemática Comercial e Financeira

 

III-) O Valor e a Moeda

Na época em que os homens viviam em comunidades restritas, tirando da natureza todos os produtos de que tinham necessidade, sem dúvida devia existir muito pouca comunicação entre as diversas sociedades. Mas com o desenvolvimento do artesanato e da cultura e em razão da desigual repartição dos diversos produtos naturais, a troca comercial mostrou-se pouco a pouco necessária.

O primeiro tipo de troca comercial foi o escambo, fórmula segundo a qual se trocam diretamente (e, portanto sem a intervenção de uma "moeda" no sentido moderno da palavra) gêneros e mercadorias correspondentes a matérias primas ou a objetos de grande necessidade.

Por vezes, quando se tratava de grupos que entretinham relações pouco amistosas, essas trocas eram feitas sob a forma de um escambo silencioso. Uma das duas partes depositava, num lugar previamente estabelecido, as diversas mercadorias com as quais desejava fazer a troca e, no dia seguinte, encontrava em seu lugar (ou ao lado delas) os produtos propostos pelo outro parceiro. Se a troca fosse considerada conveniente levavam-se os produtos, senão retornava-se no dia seguinte para encontrar uma quantidade maior. O mercado podia então durar vários dias ou mesmo terminar sem troca quando as duas partes não podiam encontrar terreno para entendimento.

Cenas como tais puderam ser observadas por exemplo entre os aranda da Austrália, os vedda do Ceilão, os bosquímanos e os pigmeus da África, os botocudos do Brasil, bem como na Sibéria e na Polinésia. 
Com a intensificação das comunicações entre os diversos grupos e a importância cada vez maior das transações, a prática do escambo direto tornou-se bem rapidamente um estorvo. Não se podiam mais trocar mercadorias segundo o capricho de tal ou qual indivíduo ou em virtude de um uso consagrado ao preço de intermináveis discussões.

Houve portanto a necessidade de um sistema relativamente estável de avaliações e de equivalências, fundado num princípio (vizinho daquele da base de um sistema de numeração) dando a definição de algumas unidades ou padrões fixos. Nesse sistema é sempre possível estimar tal ou qual valor, não somente para as operações de caráter econômico mas também (e talvez sobretudo) para a regulamentação de problemas jurídicos importantes e, todas as espécies de produtos, matérias ou objetos utilitários serviram nessa ocasião.

A primeira unidade de escambo admitida na Grécia pré-helênica foi o boi. Não é por acaso que a palavra latina pecúnia quer dizer "fortuna, moeda, dinheiro": provém, com efeito, de pecus, que significa "gado, rebanho"; além disso, o sentido próprio da palavra pecunia corresponde ao "ter em bois". 
Mas nos tempos antigos a operação de escambo, longe de ser um ato simples, devia ser, ao contrário, envolta de formalidades complexas, muito provavelmente ligadas à mística e às práticas mágicas. É em todo caso o que revela a análise etnológica feita nas sociedades "primitivas" contemporâneas, que se viu confirmar por um certo número de descobertas arqueológicas. Pode-se, portanto, supor que nas culturas pastorais a idéia de boi-padrão (moeda de sangue) sucedeu à idéia de "boi de sacrifício", ela mesma ligada ao valor intrínseco estimado do animal.

Em contrapartida, nas ilhas do Pacífico as mercadorias foram estimadas em colares de pérolas ou de conchas. Após um certo período, começou-se por trocar faixas de tecido por animais ou objetos. O tecido era a moeda; a unidade era o palmo da fita de duas vezes oitenta fios de largura. 
Tais métodos apresentavam, contudo, sérias dificuldades de aplicação. Assim, à medida que o comércio se desenvolvia, os metais desempenharam um papel cada vez maior nas transações comerciais, vindo a tornar-se no fim das contas a "moeda de troca" preferida dos vendedores e compradores. E as avaliações das diversas mercadorias passaram a ser feitas quantitativamente pelo peso, cada uma delas referindo a uma espécie de peso-padrão relativo a um ou a outro metal.

Igualmente no Egito faraônico, os gêneros e as mercadorias foram freqüentemente estimados e pagos em metal (cobre, bronze e, por vezes, ouro ou prata), que se dividia inicialmente em pepitas e palhetas. A avaliação era feita também sob a forma de lingotes ou de anéis, cujo valor se determinava em seguida pela pesagem.

Até o momento não somente tratamos de um simples escambo, mas também um verdadeiro sistema econômico. A partir de então, graças ao padrão de metal, as mercadorias passaram a não mais ser trocadas ao simples prazer dos contratantes ou segundo usos consagrados freqüentemente arbitrários, mas em função de seu "justo preço".

Até então, tratava-se somente de introduzir nas transações e nos atos jurídicos uma espécie de peso-padrão, unidade de valor à qual o preço de cada uma das mercadorias ou ações consideradas era referido. Partindo desse princípio, tal metal ou tal outro podia então servir em toda ocasião como "salário", "multa" ou como "valor de troca", e no caso da "multa", algum tipo de cálculo de juros primário era utilizado para se obter um certo valor para a mesma.

Aprendendo a contar abstratamente e agrupar todas as espécies de elementos seguindo o princípio da base, o homem aprendeu assim a estimar, avaliar e medir diversas grandezas (pesos, comprimentos, áreas, volumes, capacidades etc.). Aprende igualmente a atingir e conceber números cada vez maiores, antes mesmo de ser capaz de dominar a idéia do infinito.

Pôde elaborar também várias técnicas operatórias (mentais, concretas e, mais tarde, escritas) e erguer os primeiros rudimentos de urna aritmética inicialmente prática, antes de tornar-se abstrata e conduzir à álgebra - onde hoje temos a Matemática Financeira amplamente desenvolvida.

Foi-lhe também aberta a via para a elaboração de um calendário e de uma astronomia, bem como para o desenvolvimento de uma geometria estruturada inicialmente em medidas de comprimento, áreas e volumes, antes de ser especulativa e axiomática. Numa palavra, a aquisição desses dados fundamentais permitiu pouco a pouco à humanidade tentar medir o mundo, compreendê-lo um pouco melhor, colocar a seu serviço alguns de seus inúmeros segredos e organizar, para desenvolvê-la, sua economia.

A História da Matemática Comercial e Financeira

 

IV-) Os Bancos

O surgimento dos bancos esta diretamente ligado ao cálculo de juros compostos e o uso da Matemática Comercial e Financeira de modo geral. Na época em que o comércio começava a chegar ao auge, uma das atividades do mercador foi também a do comércio de dinheiro: com o ouro e a prata. Nos diversos países eram cunhadas moedas de ouro e prata.

Durante a expansão do comércio, assim como durante as guerras de conquista, as moedas dos diferentes países eram trocadas, mas o pagamento só podia ser efetuado com dinheiro do país específico. Conseqüentemente, dentro das fronteiras de cada país, as moedas estrangeiras deviam ser cambiadas por dinheiro deste país. Por outro lado, os comerciantes e outras pessoas possuidoras de muito dinheiro, que viajavam ao exterior, precisavam de dinheiro de outros países, que compravam com moeda nacional. Com o passar do tempo, alguns comerciantes ficaram conhecendo muito bem as moedas estrangeiras e passaram a acumulá-las em grandes quantidades. Desta forma, dedicaram-se exclusivamente ao câmbio de dinheiro, ou seja, ao comércio de dinheiro.

Aconteceu então a divisão de trabalho dentro do campo do comércio: paralelamente aos comerciantes que se ocupavam com a troca de artigos comuns, surgiram os cambistas, isto é, comerciantes dedicados ao intercâmbio de uma mercadoria específica: o dinheiro.

Num espaço de tempo relativamente curto, acumularam-se fantásticas somas de dinheiro nas mãos dos cambistas. Com o tempo, foram se ocupando de uma nova atividade: guardar e emprestar dinheiro. Naquela época, e devido à deficiente organização das instituições responsáveis pela segurança social do indivíduo, não era recomendável que tivesse em sua casa muitas moedas de ouro e prata. Estas pessoas entregavam seu dinheiro à custódia do cambista rico, que o guardava e devolvia ao dono quando ele pedisse. Imaginemos um cambista qualquer que tenha acumulado, desta forma, em seus cofres, imensa quantidade de dinheiro.

Era natural que a seguinte idéia ocorresse: "Porque estas grandes somas de dinheiro haverão de permanecer em meu poder sem qualquer lucro para mim? - Ai então percebe-se que a palavra "lucro" está diretamente interligada com o conceito de finanças - É pouco provável que todos os proprietários, ao mesmo tempo e num mesmo dia, exijam a devolução imediata de todo seu dinheiro. Emprestarei parte deste dinheiro a quem pedir, sob a condição de que seja devolvido num prazo determinado. E como meu devedor empregará o dinheiro como quiser durante este é natural que eu obtenha alguma vantagem. Por isso, além do dinheiro emprestado, deverá entregar-me, no vencimento do prazo estipulado, uma soma adicional". 
Vimos que neste pensamento do mercador, a idéia de lucro já aparece fortemente.

Assim tiveram início as operações creditícias. Aqueles que, por alguma razão, se encontravam sem dinheiro - comerciantes, senhores feudais e não raras vezes o próprio rei ou o erário nacional -, recorriam ao cambista que lhes emprestava grandes somas de dinheiro a juros "razoáveis".

O juro era pago pelo usufruto do dinheiro recebido ou, mais -propriamente, era a "compensação pelo temor" de quem dava dinheiro emprestado e assim se expunha a um grande risco. Entretanto estes juros alcançaram, em alguns casos, quantias incríveis: na antiga Roma os usuários exigiam de 50 a 100 por cento e na Idade.Média, de 100 a 200 por cento, às vezes mais, em relação direta com a necessidade do solicitante ou do montante da soma.

Estes juros foram chamados - com toda justiça - de usurário, o dinheiro recebido emprestado, de capital usurário e o credor, de usureiro. O cambista exercia sua profissão sentado num banco de madeira em algum lugar do mercado. Daí a origem da palavra "banqueiro" e "banco". Os primeiros bancos de verdade da História foram criados pelos sacerdotes.

No mundo antigo, entre os egípcios, babilônios e mais tarde entre os gregos e romanos, estava amplamente difundido o costume segundo o qual os cidadãos mais abastados deviam confiar a custódia de seu ouro aos sacerdotes.

A Igreja cristã não só deu continuidade à tradição das operações creditícias dos antigos sacerdotes, que considerava.pagãos, mas desenvolveu-as em grande escala. A Igreja Católica criou o "Banco do Espírito Santo", corri um fabuloso capital inicial. Seu verdadeiro propósito era tornar mais expedita a exação, aos fiéis, dos chamados "denários de São Pedro" destinados a satisfazer as frugalidades do Papa e para facilitar o pagamento de dízimos e indulgências, assim como para a realização de transações relacionadas com os empréstimos, em outras palavras, com a usura.

Ao mesmo tempo lançou um anátema e condenou às masmorras da inquisição os cidadãos que emprestavam dinheiro a juros, mesmo que este juro fosse menor do que aquele que ela exigia por seu dinheiro. A Igreja proibia a seus fiéis que cobrassem juros por seu dinheiro, invocando como autoridade a Sagrada Escritura, onde se lê: "Amai pois vossos inimigos e fazei o bem, e emprestei, nada esperando disso" (São Lucas, 6,35). Na realidade, esta proibição era motivada por um interesse econômico muito "mundano": a Igreja ambicionava assegurar para si o monopólio absoluto na exação de juros.

Apesar das maldições e ameaças com o fogo eterno, a Igreja não pôde conter a avidez por ganhos e lucros das pessoas, tanto mais que o próprio desenvolvimento do comércio exigia a criação de uma ampla rede bancária. As iniciadoras desta atividade foram as cidades-estado da Itália, que tinham um vasto comércio, cujo raio de ação se estendia aos mais distantes confins do mundo conhecido.

O primeiro banco privado foi fundado pelo duque. Vitali em 1157, em Veneza. Após este, nos séculos XIII, XIV e XV toda uma rede bancária foi criada. A Igreja não teve outra alternativa senão aceitar a realidade dos fatos. Assim os bancos foram um dos grandes propulsores práticos para o avanço da Matemática Comercial e Financeira e da Economia durante os séculos X até XV. Pois sem essa motivação para o aprimoramento dos cálculos, talvez, essa área de Matemática não estivesse tão avançada nos dias atuais.

A História da Matemática Comercial e Financeira

 

IV-) As Primeiras Aritméticas

Como conseqüência do interesse pela educação e do crescimento enorme da atividade comercial no Renascimento, começaram a aparecer muitos textos populares de aritmética. Três centenas desses livros foram impressos na Europa antes do século XVII. Essas obras eram de dois tipos, basicamente aquelas escritas em latim por intelectuais de formação clássica, muitas vezes ligados a escolas da igreja, e outras escritas no vernáculo por professores práticos interessados em preparar jovens para carreiras comerciais. 
A mais antiga aritmética impressa é a anônima e hoje extremamente rara Aritmética de Treviso, publicada em 1478 na cidade de Treviso. Trata-se de uma aritmética amplamente comercial, dedicada a explicar a escrita dos números, a efetuar cálculos com eles e que contém aplicações envolvendo sociedades e escambo. Como os "algoritmos" iniciais do século XIV, ela também inclui questões recreativas. Foi o primeiro livro de matemática a ser impresso no mundo ocidental.

Bem mais influente na Itália que a Aritmética de Treviso foi a aritmética comercial escrita por Piero Borghi. Esse trabalho altamente útil foi publicado em Veneza em 1484 e alcançou pelo menos dezessete edições, a última de 1557. Em 1491 foi publicada em Florença uma aritmética menos importante, de autoria de Filippo Calandri, porém interessante para nós pelo fato de conter o primeiro exemplo impresso do moderno processo de divisão e também os primeiros problemas ilustrados a aparecerem na Itália. 


ORIGEM DOS SINAIS

Adição ( + ) e subtração ( - )

    O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d'Eger publicada em Leipzig em 1489.
Entretanto, representavam não à adição ou à subtração ou aos números positivos ou negativos, mas aos excessos e aos déficit em problemas de negócio. Os símbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557.Os símbolos positivos e negativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não.

Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação mais usavam os algebristas italianos a letra P, inicial da palavra latina plus.

 

Multiplicação ( . ) e divisão ( : )

O sinal de X, como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a efetuar, colocava um ponto entre os fatores. Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava a divisão.

    O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em 29, 1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: "eu não gosto de X como um símbolo para a multiplicação, porque é confundida facilmente com x; freqüentemente eu relaciono o produto entre duas quantidades por um ponto . Daí, ao designar a relação uso não um ponto mas dois pontos, que eu uso também para a divisão."
As formas a/b e , indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes: Oughtred, e, 1631, colocava um ponto entre o dividendo o divisor. A razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal :, que apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal ÷, segundo Rouse Ball, resultou de uma combinação de dois sinais existentes - e :

 

Sinais de relação ( =, < e > )

Robert Recorde, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais; o sinal = ; constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est.

    Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade , em fins do século XVI, por dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso, ligando os dois membros da igualdade.

Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.

ORIGEM DOS NÚMEROS IRRACIONAIS

 

A origem histórica da necessidade de criação dos números irracionais está intimamente ligada com fatos de natureza geométrica e de natureza aritemética. Os de natureza geométrica podem ser ilustrados com o problema da medida da diagonal do quadrado quando a comparamos com o seu lado.

 

 

Este problema geométrico arrasta outro de natureza aritemética, que consiste na impossibilidade de encontrar números conhecidos - racionais - para raízes quadradas de outros números, como por exemplo, raiz quadrada de 2. Estes problemas já eram conhecidos da Escola Pitagórica (séc. V a.c.), que considerava os irracionais heréticos. A Ciência grega consegui um aprofundamento de toda a teoria dos números racionais, por via geométrica - "Elementos de Euclides" - mas não avançou, por razões essencialmente filosóficas, no campo do conceito de número. Para os gregos, toda a figura geométrica era formada por um número finito de pontos, sendo estes concebidos como minúsculos corpúsculos - "as mónadas" - todos iguais entre si; daí resultava que, ao medir um comprimento de n mónadas com outro de m, essa medida seria sempre representada por uma razão entre dois inteiros n/m (número racional); tal comprimento incluía-se, então na categoria dos comensuráveis. Ao encontrar os irracionais, aos quais não conseguem dar forma de fracção, os matemáticos gregos são levados a conceber grandezas incomensuráveis. A reta onde se marcavam todos os racionais era, para eles, perfeitamente contínua; admitir os irracionais era imaginála cheia de "buracos". É no séc. XVII, com a criação da Geometria Analítica (Fermat e Descartes), que se estabelece a simbiose do geométrico com o algébrico, favorecendo o tratamento aritemético do comensurável e do incomensurável. Newton (1642-1727) define pela primeira vez "número", tanto racional como irracional.
 

    O IRRACIONAL ø

ø =1,6180339887... ou ø =(1 + sqr(5))/2 é considerado símbolo de harmonia. Os artistas gregos usavam-no em arquitetura; Leonardo da Vinci, nos seus trabalhos artísticos; e, no mundo moderno, o arquiteto Le Corbusier, com base nele, apresentou, em 1948, O modulor. O número de ouro descobre-se em relações métricas:

- na natureza: em animais (como na concha do Nautilus) flores, frutos, na disposição dos ramos de certas árvores;
- em figuras geométricas, tais como o retângulo de ouro, hexágono e decágono regulares e poliedros regulares;
- em inúmeros monumentos, desde a Pirâmide de Quéops até diversas catedrais, na escultura, pintura e até na música.

 

 

 

 

ORIGEM DOS NÚMEROS NEGATIVOS

O número é um conceito fundamental em Matemática que tomou forma num longo desenvolvimento histórico. A origem e formulação deste conceito ocorreu simultaneamente com o despontar, entenda-se nascimento, e desenvolvimento da Matemática. As atividades práticas do homem, por um lado, e as exigências internas da Matemática por outro determinaram o desenvolvimento do conceito de número. A necessidade de contar objetos levou ao aparecimento do conceito de número Natural.

Todas as nações que desenvolveram formas de escrita introduziram o conceito de número Natural e desenvolveram um sistema de contagem. O desenvolvimento subsequente do conceito de número prosseguiu principalmente devido ao próprio desenvolvimento da Matemática. Os números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga. Os chineses estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras - vermelha para os números positivos e preta para os números negativos.No entanto, não aceitavam a ideia de um número negativo poder ser solução de uma equação. Os Matemáticos indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um algoritmo para a resolução de equações quadráticas. São exemplo disso as contribuições de Brahomagupta, pois a aritmética sistematizada dos números negativos encontra-se pela primeira vez na sua obra. As regras sobre grandezas eram já conhecidas através dos teoremas gregos sobre subtracção, como por exemplo (a -b)(c -d) = ac +bd -ad -bc, mas os hindus converteram-nas em regras numéricas 
sobre números negativos e positivos.

Diofanto (Séc. III) operou facilmente com os números negativos. Eles apareciam constantemente em cálculos intermédios em muitos problemas do seu "Aritmetika", no entanto havia certos problemas para o qual as soluções eram valores inteiros negativos como por exemplo:

4 = 4x +20
3x -18 = 5x^2

Nestas situações Diofanto limitava-se a classificar o problema de absurdo. Nos séculos XVI e XVII, muitos matemáticos europeus não apreciavam os números negativos e, se esses números apareciam nos seus cálculos, eles consideravam-nos falsos ou impossíveis. Exemplo deste facto seria Michael Stifel (1487- 1567) que se recusou a admitir números negativos como raízes de uma equação, chamando-lhes de "numeri absurdi". Cardano usou os números negativos embora chamando-os de "numeri ficti". A situação mudou a partir do (Séc.XVIII) quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos números positivos e negativos como sendo segmentos de direções opostas.

 

Demonstração da regra dos sinais (segundo Euler)

Euler, um virtuoso do cálculo como se constata nos seus artigos científicos pela maneira audaz como manejava os números relativos e sem levantar questões quanto à legitimidade das suas construções forneceu uma explicação ou justificação para a regra os sinais. Consideremos os seus argumentos:

1- A multiplicação de uma dívida por um número positivo não oferece dificuldade, pois 3 dívidas de a escudos é uma dívida de 3a escudos, logo (b).(-a) = -ab.

2- Por comutatividade, Euler deduziu que (-a).(b) = -ab 
Destes dois argumentos conclui que o produto de uma quantidade positiva por uma quantidade negativa e vice-versa é uma quantidade negativa.

3- Resta determinar qual o produto de (-a) por (-b). É evidente diz Euler que o valor absoluto é ab. É pois então necessário decidir-se entre ab ou -ab. Mas como (-a) ´ b é -ab, só resta como única possibilidade que (-a).(-b) = +ab. 

É claro que este tipo de argumentação vem demonstrar que qualquer "espírito" mais zeloso, como Stendhal, não pode ficar satisfeito, pois principalmente o terceiro argumento de Euler não consegue provar ou mesmo justificar coerentemente que - por - = +. No fundo, este tipo de argumentação denota que Euler não tinha ainda conhecimentos suficientes para justificar estes resultados aceitalvelmente. Na mesma obra de Euler podemos verificar que ele entende os números negativos como sendo apenas uma quantidade que se pode representar por uma letra precedida do sinal - (menos). Euler não compreende ainda que os números negativos são quantidades menores que zero.

 

 

 

ORIGEM DAS PROBABILIDADES

 

O passo decisivo para fundamentação teórica da inferência estatística, associa-se ao desenvolvimento do cálculo das probabilidades. A origem deste costuma atribuir-se a questões postas a Pascal (1623-1662) pelo célebre cavaleiro Méré, para alguns autores um jogador inveterado, para outros um filósofo e homem de letras. Parece, no entanto, mais verosímil aceitar que as questões postas por Méré (1607-1684) eram de natureza teórica e não fruto da prática de jogos de azar. Parece, também, aceitável que não foram essas questões que deram origem ao cálculo das probabilidades. Do que não resta dúvida é de que a correspondência trocada entre Pascal e Fermat (1601-1665) - em que ambos chegam a uma solução correta do célebre problema da divisão das apostas - representou um significativo passo em frente no domínio das probabilidades.

 

Também há autores que sustentam que o cálculo das probabilidades teve a sua origem na Itália com Paccioli (1445-1514), Cardano (1501-1576), Tartaglia (1499-1557), Galileo (1564-1642) e outros. Se é certo que nomeadamente Cardano no seu livro Liber de Ludo Aleae, não andou longe de obter as probabilidades de alguns acontecimentos, a melhor forma de caracterizar o grupo é dizer que marca o fim da pré- história da teoria das probabilidades. Três anos depois de Pascal ter previsto que aliança do rigor geométrico com a incerteza do azar daria origem a uma nova ciência, Huyghens (1629-1645), entusiasmado pelo desejo de " dar regras a coisas que parecem escapar á razão humana" publicou "De Ratiociniis in Ludo Aleae" que é considerado como sendo o primeiro livro sobre cálculo das probabilidades e tem a particularidade notável de introduzir o conceito de esperança matemática.

 

Leibniz (1646-1716), como pensador ecléctico que era, não deixou de se ocupar das probabilidades. Publicou, com efeito, duas obras, uma sobre a " arte combinatória" e outra sobre as aplicações do cálculo das probabilidades às questões financeiras. Foi ainda devido ao conselho de Leibniz que Jacques Bernoulli se dedicou ao aperfeiçoamento da teoria das probabilidades. A sua obra "Ars Conjectandi", foi publicada oito anos depois da sua morte e nela o primeiro teorema limite da teoria das probabilidades é rigorosamente provado. Pode dizer-se que foi devido às contribuições de Bernoulli que o cálculo das probabilidades adquiriu o estatuto de ciência. São fundamentais para o desenvolvimento do cálculo das probabilidades as contribuições dos astrónomos, Laplace, Gauss e Quetelet.

 

 

ORIGEM DO ZERO

Embora a grande invenção prática do zero seja atribuída aos hindus, desenvolvimentos parciais ou limitados do conceito de zero são evidentes em vários outros sistemas de numeração pelo menos tão antigos quanto o sistema hindu, se não mais. Porém o efeito real de qualquer um desses passos mais antigos sobre o desenvolvimento pleno do conceito de zero - se é que de fato tiveram algum efeito - não está claro.

 

O sistema sexagesimal babilônico usado nos textos matemáticos e astronômicos era essencialmente um sistema posicional, ainda que o conceito de zero não estivesse plenamente desenvolvido. Muitas das tábuas babilônicas indicam apenas um espaço entre grupos de símbolos quando uma potência particular de 60 não era necessária, de maneira que as potências exatas de 60 envolvidas devem ser determinadas, em parte, pelo contexto. Nas tábuas babilônicas mais tardias (aquelas dos últimos três séculos a.C.)  usava-se um símbolo para indicar uma potência ausente, mas isto só ocorria no interior de um grupo numérico e não no final. Quando os gregos prosseguiram o desenvolvimento de tabelas astronômicas, escolheram explicitamente o sistema sexagesimal babilônico para expressar suas frações, e não o sistema egípcio de frações unitárias. A subdivisão repetida de uma parte em 60 partes menores precisava que às vezes “nem uma parte” de uma unidade fosse envolvida, de modo que as tabelas de Ptolomeu no Almagesto (c.150 d.C.) incluem o símbolo  ou 0 para indicar isto. Bem mais tarde, aproximadamente no ano 500, textos gregos usavam o ômicron, que é a primeira letra palavra grega oudem (“nada”). Anteriormente, o ômicron, restringia a representar o número 70, seu valor no arranjo alfabético regular.

Talvez o uso sistemático mais antigo de um símbolo para zero num sistema de valor relativo se encontre na matemática dos maias das Américas Central e do Sul. O símbolo maia do zero era usado para indicar a ausência de quaisquer unidades das várias ordens do sistema de base vinte modificado. Esse sistema era muito mais usado, provavelmente, para registrar o tempo em calendários do que para propósitos computacionais.

É possível que o mais antigo símbolo hindu para zero tenha sido o ponto negrito, que aparece no manuscrito Bakhshali, cujo conteúdo talvez remonte do século III ou IV d.C., embora alguns historiadores o localize até no século XII. Qualquer associação do pequeno círculo dos hindus, mais comuns, com o símbolo usado pelos gregos seria apenas uma conjectura.

Como a mais antiga forma do símbolo hindu era comumente usado em inscrições e manuscritos para assinalar um espaço em branco, era chamado sunya, significando “lacuna” ou “vazio”. Essa palavra entrou para o árabe como sifr, que significa “vago”. Ela foi transliterada para o latim como zephirum ou zephyrum  por volta do ano 1200, mantendo-se seu  som mas não seu sentido. Mudanças sucessivas dessas formas, passando inclusive por zeuero, zepiro e cifre,  levaram as nossas palavras “cifra” e “zero”. O significado duplo da palavra “cifra” hoje - tanto pode se referir ao símbolo do zero como a qualquer dígito - não ocorria no original hindu.

 

Fonte. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula; números e numerais, de Bernard GUNDLACH.

 

 

 

ORIGEM DO CONCEITO DE
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO

 

O conceito de função que hoje pode parecer simples, é o resultado de uma lenta e longa evolução histórica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos Babilónios utilizaram tabelas de quadrados e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os Pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à mesma tensão com o seu comprimento. Nesta época o conceito de função não estava claramente definido: as relações entre as variáveis surgiam de forma implícita e eram descritas verbalmente ou por um gráfico.

Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um grande impulso, nomeadamente na sua aplicabilidade a outras ciências - os cientistas passam, a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daqui todo o estudo se desenvolve em torno das propriedades de tais funções. Por outro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a "criação" de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relacões entre variáveis.

Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto - esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o " Problema da Tangente".


Fermat resolveu esta dificuldade de uma maneira muito simples: para determinar uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou a reta PQ secante à curva. Seguidamente fez deslizar Q ao longo da curva em direcção a P, obtendo deste modo retas PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat chamou a reta tangente à curva no ponto P.

Fermat notou que para certas funções, nos pontos onde a curva assumia valores extremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor assumido pela função num desses pontos P(x, f(x)) com o valor assumido no outro ponto Q(x+E, f(x+E)) próximo de P, a diferença entre f(x+E) e f(x) era muito pequena, quase nula, quando comparada com o valor de E, diferença das abcissas de Q e P. Assim, o problema de determinar extremos e de determinar tangentes a curvas passam a estar intimamente relacionados.

Estas ideias constituiram o embrião do conceito de DERIVADA e levou Laplace a considerar Fermat "o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial". Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido.

No séc.XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitésimal, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação dx e dy para designar "a menor possível das diferenças em x e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como " Cálculo Diferencial ".

Assim, embora só no século XIX Cauchy introduzia formalmente o conceito de limite e o conceito de derivada, a partir do séc. XVII, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumento cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade aos mais diversos campos da Ciência.

 

Para estudar o conteúdo de Derivadas visite nossa seção Ensino superior.

Origem dos Sistemas Lineares e Determinantes

 

Na matemática ocidental antiga são poucas as aparições de sistemas de equações lineares. No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial por diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim acabaram descobrindo o método de resolução por eliminação — que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares. Exemplos desse procedimento encontram-se nos Nove capítulos sobre a arte da matemática, um texto que data provavelmente do século 111 a.C.

Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a idéia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas).

O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz, ligado também a sistemas lineares. Em resumo, Leibniz estabeleceu a condição de compatibilidade de um sistema de três equações a duas incógnitas em termos do determinante de ordem 3 formado pelos coeficientes e pelos termos independentes (este determinante deve ser nulo). Para tanto criou até uma notação com índices para os coeficientes: o que hoje, por exemplo, escreveríamos como a12, Leibniz indicava por 12.

A conhecida regra de Cramer para resolver sistemas de n equações a n incógnitas, por meio de determinantes, é na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746), datando provavelmente de 1729, embora só publicada postumamente em 1748 no seu Treatise of algebra. Mas o nome do suíço Gabriel Cramer (1704-1752) não aparece nesse episódio de maneira totalmente gratuita. Cramer também chegou à regra (independentemente), mas depois, na sua Introdução à análise das curvas planas (1750), em conexão com o problema de determinar os coeficientes da cônica geral A + By + Cx + Dy2 + Exy + x2 = 0.

O francês Étienne Bézout (1730-1783), autor de textos matemáticos de sucesso em seu tempo, sistematizou em 1764 o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de um determinante. E coube a outro francês, Alexandre Vandermonde (1735-1796), em 1771, empreender a primeira abordagem da teoria dos determinantes independente do estudo dos sistemas lineares — embora também os usasse na resolução destes sistemas. O importante teorema de Laplace, que permite a expansão de um determinante através dos menores de r filas escolhidas e seus respectivos complementos algébricos, foi demonstrado no ano seguinte pelo próprio Laplace num artigo que, a julgar pelo título, nada tinha a ver com o assunto: "Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema do mundo".

O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto. Neste artigo, apresentado à Academia de Ciências, Cauchy sumariou e simplificou o que era conhecido até então sobre determinantes, melhorou a notação (mas a atual com duas barras verticais ladeando o quadrado de números só surgiria em 1841 com Arthur Cayley) e deu uma demonstração do teorema da multiplicação de determinantes — meses antes J. F. M. Binet (1786-1856) dera a primeira demonstração deste teorema, mas a de Cauchy era superior.

Além de Cauehy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes foi o alemão Carl G. J. Jacobi (1804-1851), cognominado às vezes "o grande algorista". Deve-se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta hoje elementarmente. Como algorista, Jacobi era um entusiasta da notação de determinante, com suas potencialidades. Assim, o importante conceito de jacobiano de uma função, salientando um dos pontos mais característicos de sua obra, é uma homenagem das mais justas.

 

 

 

 

SURGIMENTO DA GEOMETRIA ANALÍTICA

 

A Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos. Mas, apesa do seu brilhantismo faltava operacionalidade à geometria grega. E isto só iria ser conseguido mediante a Álgebra como princípio unificador. Os gregos, porém, não eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente no século XVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria.

Ocorre porém que o fato de haver condições para uma descoberta não exclui o toque de genialidade de alguém. E no caso da geometria analítica, fruto dessa fusão, o mérito não foi de uma só pessoa. Dois franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650), curiosamente ambos graduados em Direito, nenhum deles matemático profissional, são os responsáveis por esse grande avanço científico: o primeiro movido basicamente por seu grande amor, a matemática e o segundo por razões filosóficas. E, diga-se de passagem, não trabalharam juntos: a geometria analítica é um dos muitos casos, em ciência, de descobertas simultâneas e independentes.

Se o bem-sucedido Pierre de Fermat zeloso e competente conselheiro junto ao Parlamento de Toulouse, dedicava muitas de suas melhores horas de lazer à matemática, certamente não era porque faltasse, alguém em sua posição, outras maneiras de preencher o tempo disponível. Na verdade Fermat simplesmente não conseguia fugia à sua verdadeira vocação e, apesar de praticar matemática como hobby, nenhum de seus contemporâneos contribuiu tanto para o avanço desta ciência quanto ele. Além da geometria analítica, Fermat teve papel fundamental na criação do Cálculo Diferencial, do Cálculo de Probabilidades e, especialmente, da teoria dos números, ramo da matemática que estuda as propriedades dos números inteiros.

A contribuição de Fermat à geometria analítica encontra-se num pequeno texto intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos e data no máximo, de 1636 mais que só foi publicado em 1679, postumamente, junto com sua obra completa. É que fermat, bastante modesto, era avesso a publicar seus trabalhos. Disso resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como criador da Geometria Analítica.

O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la Fleche”, escola do mais alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressará aos oito anos de idade. Mas por uma razão muito especial e que já revelava seus pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações ou justificativas matemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de freqüentar rodas matemáticas em Paris (além de outras) já graduado em Direito, ingressa voluntariamente na carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França. Durante os quase nove anos que serviu em vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. É que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da ciência e da filosofia.

A Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado A Geometria como um dos três apêndices do Discurso do método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos.

A Geometria Analítica, como é hoje, pouco se assemelha às contribuições deixadas por Fermat e Descartes. Inclusive sua marca mais característica, um par de eixos ortogonais, não usada por nenhum deles. Mais, cada um a seu modo, sabiam que a idéia central era associar equações a curvas e superfícies. Neste particular, Fermat foi mais feliz. Descartes superou Fermat na notação algébrica.
  

 

A Matemática Oriental
(Árabes, Hindus e Chineses)

 

Marcos Leandro Ohse

Com o domínio romano exercido em toda a Grécia e com o posterior fechamento da escola de Atenas pelo imperador Justiniano, a matemática e as ciências gregas entraram em declínio. Muitos pesquisadores pegaram seus manuscritos e fugiram da Grécia e proximidades para o oriente médio. Isto fez com que a ciência oriental florescesse de maneira muito rápida. Este incremento das ciências orientais foi muito importante para o desenvolvimento da matemática.


Durante todo o período em que o império romano dominou o mundo conhecido da época, tanto economicamente quanto culturalmente, o oriente foi a parte mais desenvolvida. A parte ocidental não foi baseada em uma economia de irrigação, sua agricultura era extensiva, o que não estimulou o desenvolvimento da astronomia. Assim, o ocidente se contentou com um mínimo de astronomia, alguma aritmética e algumas medições para o comércio e agrimensura. O estímulo para este desenvolvimento veio do oriente. Após a separação política entre ocidente e oriente, este estímulo praticamente desapareceu.

 

Árabes


Contexto Histórico


Até o século VII os árabes encontravam-se divididos em várias tribos, algumas sedentárias e outras nômades. Geralmente estas tribos eram hostis entre si. Estas tribos, desde tempos remotos ocupavam a península arábica, localizada no oriente próximo e limitada pelo mar vermelho, golfo pérsico e oceano índico.

Em 613, Maomé (570-632) começa a pregação de uma nova religião, na condição de profeta de Alá (deus único e verdadeiro). Esta nova religião denominou-se religião Islâmica (Islam significa: submissão).

Em 622 ocorre a “hégira”, mudança de Maomé de Meca para Iatreb por causa das perseguições sofridas, marcando o início do calendário islâmico. Após muitos anos de lutas, Maomé consegue impor a nova religião a todos os muçulmanos, sendo Meca a principal cidade sagrada. As demais cidades logo também foram conquistadas e aderiram ao islamismo.

Depois da morte de Maomé, os árabes foram governados pelos califas (Alá confiava o cuidado dos fiéis). Estes califas estenderam o domínio muçulmano da Índia até a península Ibérica. Esta expansão árabe auxiliou para que a Europa interiorizasse a economia e aumentasse a ruralização da sociedade, expandindo o processo de feudos.

No início, as relações entre a Europa cristã e os muçulmanos foi extremamente violenta e antagônica. Neste período começam a ocorrer as cruzadas, com o intuito de tomar de volta a cidade santa de Jerusalém do domínio islâmico. Os ataques muçulmanos praticamente fizeram desaparecer o comércio cristão no mediterrâneo ocidental, contribuindo ainda mais para o processo de feudalismo na Europa. Na península Ibérica os árabes realizaram uma revolução agrícola construindo canais de irrigação , açudes e moinhos d’água, introduzindo o cultivo de cana-de-açucar, algodão, cânhamo e arroz. Por todo o império circulavam moedas cunhadas em Bagdá, capital do império. Trabalhos em couros feitos em Córdoba e canais de irrigação em Valência foram algumas das soluções desenvolvidas na economia.

 

 

Contexto Matemático

Com o domínio dos Sassânidas, reis persas que governaram a mesopotâmia (Ciro e Xerxes), esta recuperou sua posição central ao longo das rotas comerciais, visto que sob o domínio romano e heleno haviam perdido. Não há muitos registros Sassânidas desta época. O que se sabe que era uma cultura muito rica, haja visto o conto “Mil e uma noites” de Omar Khayyam.


Depois da conquista árabe, em 641 teve origem Bagdá, em substituição à babilônia, que havia desaparecido. A matemática do período islâmico revela a mesma mistura de influências que se tornaram familiares em Alexandria e na Índia.


A matemática e a astronomia foram grandemente incentivadas pelos califas de Bagdá: Al-mansur (754-775), Harun Al-raschid (766-809) e Al-mamun (813-833). Este último organizou em Bagdá a “casa da sabedoria”, composta de uma biblioteca e um observatório.


As atividades matemáticas árabes começaram com a tradução dos Siddanthas hindus por Al-Fazari e culminaram com uma grande importância com Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi, por volta de 825. Ele escreveu vários tratados sobre matemática e astronomia. Estes tratados explicavam o sistema de numeração hindu. A europa ficou conhecendo este sistema de numeração graças a uma cópia latina do século XII, visto que o original árabe se perdeu. A astronomia de Al-Khwarizmi era um resumo dos Siddanthas, o qual mostrava uma influência grega nos textos sânscritos.


Convém ressaltar que a palavra “álgebra” vem do árabe “al-jabr”, que siginifica “restauração”.


Os árabes tiveram um papel muito importante na história da matemática, pois eles traduziram, fielmente, os clássicos gregos (Apolônio, Arquimedes, Euclides, Ptolomeu e outros). Estes clássicos estariam perdidos para nós sem os árabes, visto o fechamento da escola de Atenas por Justiniano.


Outro matemático brilhante foi Omar Khayyam. Ele escreveu uma álgebra que continha uma investigação sistemática de equações cúbicas, utilizando a interseção de duas seções cônicas.


Jemshid Al-Kashi, matemático Persa resolveu equações cúbicas por iteração e por métodos trigonométricos, e também pelo método conhecido hoje como “método de Horner”. Este método tem uma forte influência chinesa, o que nos faz pensar que a matemática chinesa da dinastia Sung havia penetrado profundamente no mundo islâmico.


Por tudo isto, ressalta-se a importante influência do povo árabe na matemática. Convém ressaltar, também, que os muçulmanos ao expandir o islamismo cometeram um dos maiores crimes contra a humanidade. Após a queda de Alexandria frente aos muçulmanos, o califa mandou queimar todos os manuscritos encontrados na biblioteca (cerca de 600.000) argumentando que: “se constam do alcorão não precisam ser guardados e se não constam são inúteis”. Conta a lenda que os escritos alimentaram as caldeiras dos banhos durante seis meses.


É preciso lembrar, também, o papel das cruzadas. Com as cruzadas a Europa cristã teve, novamente, contato com a matemática grega, traduzida para o árabe. Isto veio a influenciar muito a Europa medieval e serviu como fonte para o desenvolvimento da matemática durante a idade média.

Chineses


A civilização chinesa, bem como a civilização indiana, são muito mais antigas que as civilizações grega e romana, mas não mais antigas que as civilizações egípcia e mesopotâmicas.


Contexto Histórico

A civilização chinesa originou-se às margens dos rios Yang-Tsé e Amarelo. Podemos dividir a história chinesa em quatro grandes períodos:

  • China Antiga (2000 ac – 600 ac)
  • China Clássica (600 ac – 221 dc)
  • China Imperial (221 dc – 1911 dc)
  • China Moderna (1911 dc – hoje)


Apesar da china antiga ter sido governada por monarquias Hsia, Shang e Chou, o poder real estava nas mãos de numerosos pequenos senhores, governantes de pequenas cidades. Este período foi caracterizado por inúmeras guerras, taxas sobre a população e muita pobreza do povo.


Durante o período clássico, o filósofo Confúcio pregava uma total reestruturação social e política. Confúcio pregava o respeito pelas autoridades, cuidados com a pobreza, humildade, ética por parte dos governantes e não fazer aos outros o que não queremos que nos façam. Confúcio não conseguiu, em vida, fazer com que suas idéias fossem aceitas pela aristocracia. No mesmo período é criado o taoísmo por Chang Tzu (399 ac – 295 ac), o qual proclamava uma ordem no universo e recomendava a paz e a benevolência governamental. Estes conceitos foram criados em virtude dos desgovernos dos senhores e a miséria de seus súditos. Em 200 ac a dinastia Han criou um império que durou até o fim da china clássica. Esta dinastia expandiu os limites da china e adotou o confucionismo como religião oficial. Vindo da Índia, o budismo fundiu-se com o taoísmo e ganhou ampla aceitação entre os camponeses.


No período imperial, a china esteve envolvida em várias lutas internas. Com a queda da dinastia Han, os senhores começaram a lutar entre si para exercer o domínio em suas regiões. Em 618 dc a dinastia Tang unificou a china. Depois dela seguiram-se as dinastias Sung e Yuan. Estas dinastias patrocinaram as artes e a literatura, criando assim a era de ouro. Com isto a china alcançou grandes dimensões e muita influência. Começa a ocorrer a abertura do comércio chinês com a Europa, via oriente médio. As viagens de Marco Pólo à corte de Kublai Khan proporcionaram o primeiro contato da civilização chinesa com o mercado europeu.


O império chinês durou muito mais tempo que o romano. Só foi rompido com a revolução de 1911. É importante ressaltar que ao contrário do império romano, os imperadores chineses, principalmente Kublai Khan, produziram uma cultura rica e uma base intelectual sólida. Enquanto os monarcas romanos eram, geralmente militares analfabetos, os monarcas chineses valorizavam muito a intelectualidade. Pelo fato de que os chineses se interessavam mais por literatura e arte, a matemática e a ciência chinesa sofreram um atraso em relação as outras matérias.

 

Contexto Matemático


Os historiadores consideram muito difícil datar documentos matemáticos da China. O clássico mais antigo da matemática chinesa “Chou Pei Suang Ching” tem uma variação de quase mil anos entre suas datas mais prováveis de escrita. A maior dificuldade em datar este documento ocorre porque foi escrito por várias pessoas, em períodos diferentes. O Chou Pei indica que na China a geometria originou-se da mensuração, assim como na babilônia, sendo um exercício de aritmética ou álgebra. Neste trabalho há indicações que os chineses conheciam o teorema de Pitágoras.


Outra publicação tão antiga quanto o Chou Pei, é o livro de matemática “Chui Chang Suan Shu” (Nove capítulos sobre a arte da matemática, em torno de 1200 a.c.). Entre vários assuntos abordados, chama a atenção problemas sobre mensuração de terras, agricultura, sociedades, engenharia, impostos, cálculos, soluções de equações e propriedades dos triângulos retângulos. Nesta mesma época os Gregos compunham tratados logicamente ordenados e expostos de forma sistemática. Os chineses seguiam a mesma linha babilônica, compilando coleções com problemas específicos. Assim como os Egípcios, os chineses alternavam, em seus experimentos, resultados precisos e imprecisos, primitivos e elaborados. Nesta publicação aparecem soluções de sistemas lineares com números positivos e negativos.


Como os chineses gostavam de resolver sistemas, os diagramas foram muito utilizados por eles. É interessante observar que o quadrado mágico teve seu primeiro registro efetuado por este povo, mesmo que sua origem é mais antiga, porém desconhecida.


Durante toda sua história, a ciência chinesa sofreu com vários problemas, que impediram sua continuidade e aprimoramento. Em 213 a.c. o imperador da China mandou queimar os livros existentes. Mesmo que algumas cópias tenham sido salvas, a perda foi irreparável. No século XX, Mao-Tsé-Tung, com sua “Revolução Cultural” também promoveu uma queima generalizada de livros, considerados “subversivos”.


Provavelmente houve contato cultural entre Índia e China e entre a China e o ocidente. Muitos dizem que houve influência babilônica na matemática chinesa, apesar de que a China não utilizava frações sexagesimais. O sistema de numeração chinês era decimal, porém com notações diferentes das conhecidas na época. Eles utilizavam o sistema de “barras” (I, II, III, IIII, T). Não podemos precisar a idade deste sistema de numeração, porém sabe-se que ele é anterior ao sistema de notação posicional.


Esta notação em barras não era simplesmente utilizada em placas de calcular (escrita). Barras de bambu, marfim ou de ferro eram carregadas em sacolas pelos administradores para que os cálculos fossem efetuados. Este método era mais simples e rápido do que o cálculo realizado com ábaco, soroban ou suan phan.


Os chineses conheciam as operações sobre frações comuns, utilizando o m.d.c. Trabalhavam com números negativos por meio de duas coleções de barras (vermelha para os coeficientes positivos e preta para os negativos), porém não aceitavam números negativos como solução de uma equação.


A matemática chinesa é tão diferente da matemática de outros povos da mesma época que seu desenvolvimento ocorreu de forma independente.Lui Hui, no terceiro século, determinou um valor para Pi utilizando, primeiro um polígono regular com 96 lados (3,14) e depois utilizando um polígono regular com 3072 lados (3,14159).


O ponto alto da matemática chinesa ocorreu no século XIII durante o fim do período Sung. Nesta época foi descoberta a impressão, a pólvora, o papel e a bússola. Obras chinesas desta época influenciaram fortemente a Coréia e o Japão. Muitas desta obras desapareceram da China neste período, reaparecendo apenas no século XIX.


Yang Hui (1261 – 1275), matemático talentoso trabalhou com séries numéricas e apresentou uma variação chinesa para o triângulo de Pascal.


Sabe-se que a partir da idade média na Europa, a matemática chinesa não tinha realizações que se comparassem às européias e do oriente próximo. Possivelmente a China absorvia mais matemática do que enviava. Possivelmente as ciências chinesas e hindus sofreram influências mútuas durante o primeiro milênio de nossa era.

 

Hindus


Contexto Histórico


Escavações arqueológicas ocorridas em Mohenjo Daro nos dão uma indicação de uma civilização muito antiga e de uma cultura muito alta na Índia, ocorrida na mesma época em que eram construídas as pirâmides no Egito. Posteriormente o país foi ocupado pelos invasores arianos que impuseram o sistema de castas, o qual trouxe um atraso muito grande ao desenvolvimento. Estes invasores arianos desenvolveram na índia a literatura sânscrita. Na mesma época em que Pitágoras começou a desenvolver seus teoremas e axiomas na Grécia, Buda agia na Índia. Especula-se que Pitágoras esteve em contato com Buda e que desenvolveu seu mais famoso teorema com os hindus.


Os indianos dos primeiros tempos foram exterminados por volta de 1500 ac. Este país tinha como política, vários pequenos principados desunidos, o que propiciou muitas invasões em seu território (arianas, persas, gregas, árabes e ingleses). Estes invasores se estabeleceram como classe dominante, evitando a miscigenação com o povo nativo.


Entre 3000 ac e 1500 ac viveu na índia um povo, da região do rio Indo, que cultivava a agricultura e morava em cidades. Este povo foi destruído pelos arianos. Entre 1500 ac e 500 ac os arianos desenvolveram o hinduismo, combinação de religião, filosofia e estrutura social, a qual veio a desenvolver a base de sua civilização. O hinduismo é um conjunto de crenças e leis que se baseia em três idéias principais: culto a um grande número de deuses, transmigração da alma e o sistema de castas que dividia rigidamente a sociedade indiana em quatro classes: Brahmana (sacerdotes), kshatriya (guerreiros), vaisya (comerciantes e artesãos) e sudra (camponeses).


Sidarta Gautama (Buda), por volta de 500 ac se revolta contra esta filosofia. O budismo foi uma resposta ao caos e à agitação desta época, encontrando muitos adeptos, principalmente entre os pobres. Até começar a declinar, por volta de 500 d.c. o budismo já havia se espalhado pela China, Japão e sudeste asiático.


Em 320 a.c. Chandragupta Mauria unificou todos os pequenos estados indianos e estabeleceu o império Mauriano, seguido pelo seu neto Açoka (272-232 ac).. Em 185 ac o império voltou a se desintegrar e ficar dividido em pequenos estados. Da queda do império mauriano até 200 dc houve um grande desenvolvimento cultural, por meio da literatura, arte, ciência e filosofia. Em 320 dc a índia foi novamente unificada por Chandragupta I, originando o império dos Gupta, que se manteve até 470 dc, o qual é considerado a era clássica da Índia.


Com a invasão dos árabes, o islamismo foi introduzido na índia, conquistando partes da índia ocidental nos séculos VIII, IX e X. Em 1206 Kutb ud-Din-Aibak fundou o sultanato muçulmano de Dehli. Em 1526 Babur instala o império Mogol (Turco). No século XVII a Índia é invadida pelos Ingleses que exercem uma tirania muito grande contra a sua população.


Contexto Matemático

A matemática hindu apresenta mais problemas históricos do que a grega, pois os matemáticos indianos raramente se referiam a seus predecessores e exibiam surpreendente independência em seu trabalho matemático.


A Índia, assim como o Egito, tinha seus “esticadores de corda”. As primitivas noções geométricas tomaram corpo no escrito conhecido como “Sulvasutras” (regras de cordas). Este escrito tem três versões, sendo que a mais conhecida tem o nome de Apastamba. Nesta primeira versão, da mesma época de Pitágoras, são encontradas regras para construção de ângulos retos por meio de ternas de cordas cujos comprimentos formam tríadas pitagóricas. Este escrito, provavelmente, sofreu influência babilônica, visto que estas tríadas encontram-se nas tábuas cuneiformes. A origem e a data dos Sulvasutras são incertos, de modo que não é possível relacioná-los com a primitiva agrimensura egípcia ou com o problema grego de duplicar um altar.


Após esta publicação, surgiram os “Siddhantas” (sistemas de astronomia). O começo da dinastia Gupta (290) assinalou um renascimento da cultura sânscrita e estes escritos podem ter sido um produto disto. A trigonometria de Ptolomeu se baseava na relação funcional entre as cordas de um círculo e os ângulos centrais que subentendem. Para os autores dos Siddhantas, a relação ocorre entre metade de uma corda de um círculo e metade do ângulo subentendido no centro pela corda toda.

 

A Índia teve muitos matemáticos que fizeram grandes contribuições. Entre eles podemos destacar:

  • Aryabhata

Publicou, em 499, uma obra intitulada “Aryabhatiya”. Esta publicação é um pequeno volume sobre astronomia e matemática, semelhante aos “Elementos” de Euclides, porém de oito séculos antes. São compilações de resultados anteriores. Esta obra contém: nome das potências de dez, até a décima; regras de mensuração (muitas erradas); área do triângulo; volume da pirâmide (incorreto); área do círculo; volume da esfera (incorreto) e áreas de quadriláteros (algumas incorretas). Também encontramos cálculos com a medida do tempo e trigonometria esférica.

  • Brahmagupta

Viveu na Índia central pouco mais de cem anos depois de Aryabhata. Tem pouco em comum com seu predecessor que vivia no leste da Índia. Seu trabalho mais importante foi a generalização da fórmula de Heron para achar a área de qualquer quadrilátero. Também trabalhou na solução de equações quadráticas com raízes negativas.

  • Bhaskara

Considerado o mais importante matemático do século doze (1114 – 1185). Ele preencheu as lacunas do trabalho de Brahmagupta. É dele a primeira resposta plausível para a divisão por zero. Em seu trabalho “Vija-Ganita” ele afirma que tal quociente é infinito. Sua outra obra, “Lilavati”, apresenta tópicos sobre equações lineares e quadráticas, determinadas e indeterminadas, mensuração, progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas, entre outras. Sua obra representa a culminação de contribuições hindus anteriores.

  • Ramanujan

Após Bhaskara, a Índia passou vários séculos sem matemáticos de importância comparável. Srinivasa Ramanujan (1887-1920) é considerado o gênio hindu, em aritmética e álgebra, do século vinte.

A introdução de uma notação para uma posição vazia, o símbolo para o zero, foi o segundo passo para o nosso moderno sistema de numeração. Não se sabe se o número zero (diferente do símbolo para a posição vazia) surgiu junto com os nove numerais hindus. É bem possível que o zero seja originário do mundo Grego, talvez de Alexandria. Possivelmente foi transmitido à Índia depois que o sistema posicional já estava estabelecido lá. É interessante observar que os Maias do Yucatán (México), anterior à Colombo, usavam notação posicional, com notação para a “posição vazia”. Com a introdução, na notação hindu, do décimo numeral, um ovo de ganso para o zero, o nosso moderno sistema de numeração para os inteiros estava completo.

A nova numeração, geralmente chamada de hindu-arábica, é uma nova combinação dos três princípios básicos, todos de origem antiga:

i) base decimal

ii) notação posicional

iii) forma cifrada para cada um dos dez numerais

Nenhum destes de se deveu, originalmente, aos hindus, mas foi devido a eles que os três foram ligados pela primeira vez para formar o nosso sistema de numeração.

Outra contribuição importante dos hindus foi a introdução de um equivalente da função seno na trigonometria para substituir a tabela de cordas dos gregos. A trigonometria hindu era um instrumento útil e preciso para a astronomia.

 

 

 

 

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

 

A MATEMÁTICA NA ANTIGUIDADE

(Pré-História, Egito Antigo, Mesopotâmia e Grécia Antiga)

 

 

I – Pré-História

Considera-se como pré-história todo o período anterior a escrita. Neste período o homem era nômade, vivia em pequenos grupos, caçava, pescava e morava em cavernas. Não havia civilização como hoje nós a conhecemos.

  • Contexto Histórico

Durante a pré-história a sociedade era extremamente rígida. As pequenas comunidades eram formadas por clãs ou tribos comandadas por um líder ou chefe tribal. Não havia ascensão social, fora quando a autoridade do chefe era contestada e conseguia-se um novo líder por meio de lutas. Não havia forma alguma de política. Neste período havia a “lei do mais forte”.

Nesta sociedade primitiva, os homens caçavam e obtinham todo tipo de alimento. Ás mulheres estava destinado cuidar dos filhos e preparar o alimento que os homens traziam.

As comunidades (tribos) eram pequenas, mais ou menos quarenta pessoas por grupo, pois a alimentação era escassa e em pouco tempo o alimento acabava em determinado lugar. Por este motivo os grupos eram nômades, viviam se deslocando, procurando alimentos.

Também não existia um processo econômico propriamente dito, pois não existiam ainda os processos de troca de mercadorias nem a cunhagem de moedas. As pessoas sobreviviam com aquilo que obtinham a cada dia.

Com o passar do tempo, as civilizações propriamente ditas, começaram a se desenvolver no crescente fértil (rios Tigre e Eufrates na Mesopotâmia, Rios Indo e Ganges na Índia e Delta do Nilo na África) e também onde hoje está situada a América Central, com as culturas Asteca e Maia.

O rompimento da pré-história e por conseqüência, a criação das civilizações e das grandes cidades, só foi possível com o desenvolvimento da agricultura, em um processo que ficou conhecido como “Revolução Agrícola”. Esta foi a primeira grande revolução que mexeu com toda a humanidade. A segunda seria a “Revolução Industrial” e a terceira a “Revolução Tecnológica”.

 

  • Contexto matemático

Este período foi marcado por um baixíssimo nível intelectual, científico e matemático. Os aspectos sociais, políticos e econômicos acima citados, tiveram influência direta nesta pouca produção intelectual das sociedades. Mesmo assim, podemos citar algumas descobertas científicas e matemáticas.

Neste período houve a elaboração de um processo rudimentar de contagem: ranhuras em ossos, marcas em galhos, desenhos em cavernas e pedras. Também podemos citar aqui o processo que muitos utilizavam para relacionar quantidades, ou seja, para cada unidade obtida, era colocada uma pequena pedra em um saquinho.

Alguns povos, como os Sioux (tribo indígena americana) confeccionaram calendários pictográficos, desenhados em cavernas.

Destaca-se também a confecção de instrumentos e artefatos de guerra (primeiro em pedra, depois em bronze e ferro).

Como já comentamos anteriormente, foi somente após a revolução agrícola que as descobertas científicas e matemáticas tiveram um maior impulso. Esta revolução abriu o caminho não só para a criação das grandes civilizações, mas também para tudo aquilo que cerca esta construção.

 

II – Egito Antigo

A civilização Egípcia se desenvolveu ao longo de uma extensa faixa de terra fértil que margeava o rio Nilo. Este rio prestou-se muito ao estabelecimento de grupos humanos. Suas margens férteis revelaram-se propícias à agricultura e, ainda, suas águas caudalosas facilitavam a abertura de canais de irrigação e a construção de diques. O estudo do Egito antigo está determinado entre 4.000 a.c. à 30 a.c. Houveram vários períodos dentro da história egípcia antiga, mas todos eles tiveram basicamente o mesmo aspecto social político e econômico, bem como matemático e científico. Somente com a invasão pelos romanos no século I a.c. é que ocorre um rompimento com sua cultura milenar.

  • Contexto Histórico

A sociedade Egípcia era extremamente rígida. A pirâmide social era fixa e composta desta maneira: Faraó (nobreza) – sacerdotes – escribas – camponeses - escravos. Havia uma administração estatal, centralizada no faraó que era o senhor absoluto de tudo que havia no Egito. O poder do faraó era fortalecido pela crença que o poder divino estava vinculado ao poder civil na pessoa do faraó, considerado um deus na terra.

Além do faraó que era o senhor absoluto, havia uma poderosa nobreza fundiária que cooperava na administração  e na exploração do trabalho dos camponeses. Apenas a família do faraó, os sacerdotes e os nobres tinham acesso a uma educação rudimentar. Alguns escribas também obtinham, mediante vontade do faraó, acesso à educação.

Em um primeiro momento a economia Egípcia estava baseada na agricultura e no trabalho escravo. Os camponeses cultivavam a terra e entregavam aos nobres e ao faraó. Eles só tinham direito a uma pequena parte dos produtos para sua subsistência.

Em um segundo momento a economia foi ampliada para um comércio de troca de mercadorias com outros povos que viviam em outras regiões, principalmente os mesopotâmicos.

Pelo fato de que a sociedade egípcia era uma sociedade extremamente fixa, centrada na pessoa do faraó, que não permitia uma maior abertura para as classes inferiores, as ciências também foram prejudicadas. Mas, mesmo assim houve um grande avanço científico e matemático neste período.

  • Contexto matemático

Um dos ramos da ciência que teve um avanço significativo foi a medicina. Os médicos (sacerdotes) egípcios possuíam um grande conhecimento na medicina, como bem comprovam as múmias de vários faraós descobertas nos dois últimos séculos, bem como o acesso a vários papiros.

Na matemática, também tivemos grandes avanços. A matemática egípcia sempre foi essencialmente prática. Quando o rio Nilo estava no período das cheias, começavam os problemas para as pessoas. Para resolver este problema foram desenvolvidos vários ramos da matemática. Foram construídas obras hidráulicas, reservatórios de água e canais de irrigação no rio Nilo. Procedeu-se a drenagem dos pântanos e regiões alagadas.

Começou-se também com uma geometria elementar e uma trigonometria básica (esticadores de corda) para facilitar a demarcação de terras. Com isto procedeu-se a um princípio de cálculo de áreas, raízes quadradas e frações. Também sabemos que os egípcios conheciam as relações métricas em um triângulo retângulo. O teorema de Pitágoras, na realidade, já era conhecido por povos bem mais antigos que os gregos.

No século XVIII d.c. foram descobertos vários papiros em escavações no Egito. Do ponto de vista matemático os mais importantes são os papiros de Moscou e os Papiros de Rhind. Estes papiros trazem uma série de problemas e coleções matemáticas em linguagem hieróglifa. Só foi possível a decifração desta linguagem, por Champolion, quando em 1799 uma expedição do exército Francês, sob o comando de Napoleão Bonaparte, descobriu perto de Rosetta, Alexandria uma pedra com escrita em três línguas: grego, demótico e hieróglifa. Somente com esta pedra foi possível decifrar a linguagem hieróglifa e traduzir estes papiros com grandes preciosidades matemáticas egípcias.

Outra ciência que teve um avanço muito grande neste período foi a astronomia. Os sacerdotes egípcios faziam cálculos astronômicos para determinar quando iriam ocorrer as cheias do Nilo. Baseados nestes cálculos eles construíram um calendário com 12 meses de 30 dias.

A construção das grandes pirâmides faz supor que o conhecimento matemático dos egípcios era muito mais avançado que o conhecido nos papiros. Talvez o fato da escrita ser muito difícil tenha sido um dos motivos que impediu este registro. Talvez, ainda, estes registros tenham sido feito em papiros que não chegaram aos nossos dias.

Podemos afirmar, com absoluta certeza, que a matemática egípcia foi um dos pilares da matemática grega, a qual foi a base para a nossa matemática moderna. Isto em geometria, trigonometria ou mesmo na astronomia.

 

III – Mesopotâmia

A Mesopotâmia, que em Grego significa “terra entre rios”, situava-se no oriente médio, no chamado crescente fértil, entre os rios Tigre e Eufrates, onde hoje está situado o Iraque e a Síria, principalmente. Os povos que formavam a Mesopotâmia foram os Sumérios, Acádios, Amoritas, Caldeus e Hititas, os quais lutavam pela posse das terras aráveis.

Por estar situado nesta região geográfica, a Mesopotâmia estava mais sujeita às invasões e conquistas de vários povos, ao contrário do que ocorreu no Egito. As duas civilizações, Egípcia e Mesopotâmica, desenvolveram-se no mesmo período. Mas, este desenvolvimento deu-se em separado, não havendo um intercâmbio de informações.

As mesmas dificuldades que acarretaram o desenvolvimento das ciências no Egito foram a mola propulsora deste desenvolvimento nesta região. Porém ao contrário do que ocorria com as águas do rio Nilo, os períodos de cheia dos rios Tigre e Eufrates eram bastante irregulares, obrigando a realização de numerosas obras de irrigação e drenagem, com períodos de observação e desenvolvimento com uma maior dificuldade.

  • Contexto Histórico

A população residia em grandes cidades, governadas por um rei-sacerdote, chamado Patesi. Como esta região estava situada em uma região permanentemente sujeita a invasões, estas cidades eram extremamente militarizadas.

É desta região a elaboração do primeiro código escrito de leis. O código de Hamurabi, conhecido como “Lei de Talião”. Este código foi escrito pelo rei Hamurabi, em torno de 2.000 a.c. e privilegiava principalmente a nobreza, em detrimento do restante da população.

Durante o período entre 4.000 a.c. e 1200 a.c. foi inventada uma das primeiras formas conhecidas de escrita, a escrita cuneiforme e a fundação de grandes cidades (Lasash, Ur, Uruk e Babilônia). A escrita cuneiforme era realizada por meio de cunhas produzidas em tabletes de barro cozido, o qual garantia a sua permanência e conservação por um longo período de tempo, sendo que muitos tabletes chegaram até nossos dias, permitindo acesso àquela cultura. O processo de decifrar esta escrita só foi conseguido no século XIX por Henry Cheswike Rawlison e Georg Friedrich Grotenfrend.

Uma das tabelas mais importantes, sob o ponto de vista matemático, foi a chamada tábua “Plimpton 322”, a qual traz uma série de informações matemáticas, entre elas a relação entre os três lados de um triângulo.

Assim como a sociedade egípcia, a sociedade mesopotâmica tinha sua pirâmide social extremamente rígida, não permitindo a mobilidade social. Esta pirâmide tinha duas camadas. A camada mais alta era formada pelo rei e seus familiares, seguidos por uma nobreza fundiária, sacerdotes e ricos mercadores. Na base da sociedade estavam os camponeses e os escravos. Esta sociedade era altamente militarizada e extremamente cruel para com os povos dominados por meio de guerras ou da cobrança de impostos.

Com o advento do código de Hamurabi esta sociedade foi dividida em três grupos distintos: Homens livres privilegiados (grandes proprietários de terra, comerciantes e sacerdotes); Homens livres (artesãos, pequenos comerciantes e servidores no palácio real) e Escravos (prisioneiros de guerras ou pessoas que não conseguiam pagar as suas dívidas).

A economia estava baseada na agricultura e no comércio de trocas. Visto a localização geográfica da região que facilitava o contato entre os povos conhecidos da época.

Não havia um processo político como conhecemos hoje, pois o rei detinha o poder absoluto e total.

  • Contexto matemático

A ciência e, por conseqüência, a matemática mesopotâmica teve um grande desenvolvimento por parte dos sacerdotes que detinham o saber nesta civilização. Assim como a matemática Egípcia, esta civilização teve uma matemática e/ou ciência extremamente prática. As matemáticas orientais surgiram como uma ciência prática, com o objetivo de facilitar o cálculo do calendário, a administração das colheitas, organização de obras públicas e a cobrança de impostos, bem como seus registros.

As águas dos rios Tigre e Eufrates proporcionavam facilidades para o transporte de mercadorias, o que ajudou a desenvolver um processo de navegação.

Foram desenvolvidos nestes rios grandes projetos de irrigação das terras cultiváveis e a construção de grandes diques de contenção, abrindo assim o caminho para o desenvolvimento de uma engenharia primitiva.

Procedeu-se ao desenvolvimento de uma astronomia rudimentar para o cálculo do período de cheias e vazantes dos rios, mesmo que estes períodos não fossem regulares como os do rio Nilo no Egito.

Os Babilônicos (assim também eram chamados os povos mesopotâmicos) tinham uma maior habilidade e facilidade para efetuar cálculos, talvez em virtude de sua linguagem ser mais acessível que a egípcia. Eles tinham técnicas para equações quadráticas e bi-quadráticas, além de possuírem fórmulas para áreas de figuras retilíneas simples e fórmulas para o cálculo do volume de sólidos simples. Sua geometria tinha suporte algébrico. Também conheciam as relações entre os lados de um triângulo retângulo e trigonometria básica, conforme descrito na tábua “Plimpton 322”.

Ao contrário dos Egípcios, que tinham um sistema posicional de base 10, os babilônicos possuíam um sistema posicional sexagesimal bem desenvolvido, o qual trazia enormes facilidades para os cálculos, visto que os divisores naturais de 60 são 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60, facilitando o cálculo com frações.

Por tudo isto que foi descrito, a matemática Babilônica tinha um nível mais elevado que a matemática Egípcia.

Pelo fato da Mesopotâmia estar situada no centro do mundo conhecido da época, o que propiciava grandes invasões e muito contato com outros povos, ela teve um papel muito grande no desenvolvimento da matemática de um povo que teve um papel muito importante na história: o povo Grego. Graças a este contato com o povo Grego, muito desta matemática chegou até os nossos dias.

 

IV – Grécia Clássica

Consideramos o período compreendido entre 2.000 a.c. até 35 a.c. como sendo o período clássico ou período de ouro do povo Grego. Período este que se encerra com o domínio da Grécia pelos Romanos.

A civilização Grega foi formada por muitos povos que se originaram da Europa central e da Ásia. Antes, porém, de comentar sobre estes povos convém fazer um breve comentário sobre um povo que teve uma influência muito grande sobre a construção da Grécia e de sua cultura: os Cretenses.

Os Cretenses, habitantes da ilha de Creta, desde 3.000 a.c., com expressão maior entre 2.000 a.c. à 1.500 a.c., notabilizaram-se pelo comércio marítimo, artesanato, arte e a influência sobre os Gregos. Tiveram um comércio muito grande com o Egito, Fenícia e a Síria. As transações comerciais eram registradas em papiros com uma escrita acessível aos mercadores. Este contato com os demais povos possibilitou um intercâmbio muito grande com as demais culturas e propiciou avanços matemáticos e científicos ampliando os conhecimentos tecnológicos do período, haja vista as ruínas de banheiros e sistemas de esgotos descobertos em escavações.

O povo da ilha de Creta tinha uma sociedade original e desenvolvida, dando lugar de destaque à mulher, ao contrário das demais civilizações do período. Registros indicam que não havia escravidão.

Quando a ilha de Creta, mais precisamente a cidade de Cnossos,  foi ocupada pelos Aqueus, esta civilização foi subjugada. Apesar de conquistadores, os Aqueus absorveram a cultura Cretense.

A civilização grega, propriamente dita, foi formada nos séculos XX a.c. a XII a.c. por invasões de Aqueus, Jônios, Eólios e Dórios.

  • Contexto Histórico

A Grécia antiga é considerada como o berço da civilização ocidental. Mas, na realidade, vimos que anteriormente a ela desenvolveu-se a civilização cretense. Como a Grécia antiga era chamada de Hélade, este povo foi denominado, na antiguidade, “Helenos”.

A história da Grécia pode ser dividida em quatro períodos:

 

  • Período Homérico (Séculos XII até VIII a.c.) 

Pouco se sabe sobre este período. Sabe-se apenas que ele começou com a invasão dos Dórios. As poucas informações são os vestígios arqueológicos obtidos em escavações e os poemas “Ilíada” e “Odisséia” de Homero.

  • Período Arcaico (Séculos VIII até VI a.c.) 

Este período foi marcado por uma grande expansão marítima e comercial pelo mediterrâneo, estreitando os laços econômicos com os demais povos, tornando a atividade comercial a mais importante da economia Grega. Esta atividade consistia em comércio exterior, com a exportação de mármore, azeite, vinhos, frutas e na importação de trigo, metais, madeiras, tecidos. Com este crescimento da nova atividade, uma poderosa classe de comerciantes surgiu. Esta classe passou a lutar por seus direitos, principalmente políticos, visto que eram as famílias nobres que estavam no poder. Com isto, ocorreram grandes modificações nas formas políticas. A maior delas foi a criação da democracia na cidade-estado de Atenas. Mas, mesmo a democracia era excludente, visto que escravos, estrangeiros e mulheres não podiam participar das decisões. Esta economia também estava baseada no emprego, de forma predominante, da mão-de-obra escrava. Os escravos eram obtidos de três maneiras: nascimento, guerras de conquista e condenação por dívidas.

  • Período Clássico – Época de Ouro (Séculos VI até IV a.c.)

Durante este período a civilização grega atingiu seu apogeu, com a estabilização da democracia, obras dos principais artistas e filósofos, bem como o desenvolvimento do estudo da matemática e ciências.

Podemos citar, deste período, Demócrito (460-370 a.c.) que foi o primeiro a afirmar a existência do átomo como elemento indivisível e Hipócrates (460-377 a.c.) que, no tratamento médico, defendeu uma análise das doenças a partir dos sintomas apresentados pelo paciente, em substituição às crenças e superstições.

Este período também foi marcado por guerras contra os Persas e também guerras internas entre as cidades-estado, principalmente a guerra entre Atenas e Esparta.

  • Período Helenístico (Séculos IV até I a.c.) 

Este período começa com a dominação da Grécia, enfraquecida pelas guerras internas e contra os Persas, pelos Macedônios. Em 308 a.c. Filipe da Macedônia derrotou os exércitos Gregos. A dominação foi mantida por seu filho, Alexandre Magno, o qual dominou o mundo conhecido da época, chegando até partes da Índia. Alexandre havia sido aluno de Aristóteles e por este motivo, mesmo com a dominação militar, as ciências e as artes continuaram progredindo, mas em ritmo mais reduzido. Com Alexandre Magno ocorreu a fusão da cultura Grega com a oriental, o que auxiliou em muito a expansão das ciências e da matemática, principalmente em contatos com Árabes e Hindus.

Com a morte de Alexandre, seu império foi dividido entre seus três generais: Antígono (Grécia e Macedônia), Ptolomeu (Egito) e Seleuco (Mesopotâmia, Síria e Pérsia).

No século I a.c. todas estas regiões foram dominadas pelos romanos. Com esta dominação a cultura grega entrou em declínio, culminando este declínio com o fechamento da escola de Atenas pelo imperador romano Justiniano.

Durante todos estes períodos a sociedade Helena apresentava diferentes modos, em função de suas estruturas políticas das suas cidades-estado. Mas, existiam semelhanças entre elas, tais como: família patriarcal, conceitos de cidadania, sociedade fechada, sem possibilidade de mobilidade social.

No âmbito da política, o grande desenvolvimento foi a democracia, primeiro com Drácon, depois Sólon e por fim Clístenes. Mas, foi somente com Péricles (462-429 a.c.) que a democracia se consolidou. Mas, esta democracia era apenas para os cidadãos. Estrangeiros, mulheres e escravos estavam proibidos de participar da vida política.

Podemos afirmar, com certeza, que a liberdade de pensamento da civilização Grega contribuiu para o desenvolvimento das ciências, em especial, a matemática. O intercâmbio de idéias e conhecimento entre o oriente e o ocidente frutificou nas inúmeras bibliotecas que se formaram, como a de Alexandria (Egito), que possuía cerca de 400 mil volumes.

  • Contexto matemático

A base da revolução matemática exercida pela civilização Grega partiu de uma idéia muito simples. Enquanto Egípcios e Babilônicos perguntavam: “como”? os filósofos gregos passaram a indagar: “por quê”? Assim, a matemática que até este momento era, essencialmente, prática, passou a ter seu desenvolvimento voltado para conceituação, teoremas e axiomas.

A matemática, através da história, não pode ser separada da astronomia. Foram as necessidades relacionadas com a irrigação, agricultura e com a navegação que concederam à astronomia o primeiro lugar nas ciências, determinando o rumo da matemática.

Dois fatores estimularam e facilitaram o grande desenvolvimento da ciência e da matemática pelos filósofos gregos: a substituição da escrita grosseira do antigo oriente por um alfabeto fácil de aprender e a introdução da moeda cunhada, o que estimulou ainda mais o comércio.

A matemática moderna teve origem no racionalismo jônico, e teve como principal estimulador Tales de Mileto, considerado o pai da matemática moderna. Este racionalismo objetivou o estudo de quatro pontos fundamentais: compreensão do lugar do homem no universo conforme um esquema racional, encontrar a ordem no caos, ordenar as idéias em seqüências lógicas e obtenção de princípios fundamentais. Estes pontos partiram da observação que os povos orientais tinham deixado de fazer todo o processo de racionalização de sua matemática, contentando-se, tão somente, com sua aplicação.

Neste período começam a surgir as primeiras divisões nas ciências. Na Grécia surgem dois grupos distintos de filósofos: os Sofistas e os Pitagóricos, os quais passam a analisar as ciências de dois modos diferentes.

Os Sofistas abordavam os problemas de natureza matemática como uma investigação filosófica do mundo natural e moral, desenvolvendo uma matemática mais voltada à compreensão do que à utilidade. É o começo da abstração matemática, em detrimento da matemática essencialmente prática.

Os Pitagóricos, sociedade secreta criada por Pitágoras de Samos, enfatizavam o estudo dos elementos imutáveis da natureza e da sociedade. O chefe desta sociedade foi Arquitas de Tarento. Os Pitagóricos estudavam o quadrivium (geometria, aritmética, astronomia e música). Sua filosofia pode ser resumida na expressão “tudo é número”, com a qual diziam que tudo na natureza pode ser expresso por meio dos números. Pitágoras dizia que: “tudo na natureza está arranjado conforme as formas e os números”. Aos Pitagóricos (Pitágoras, principalmente) podemos creditar duas descobertas importantes: o conceito de número irracional por meio de segmentos de retas incomensuráveis e a axiomatização das relações entre os lados de um triângulo retângulo (teorema de Pitágoras), que já era conhecido por babilônicos e egípcios.

Paralelo a isto, os matemáticos gregos do período clássico começam a trabalhar com o princípio da indução lógica (apagoge), que é o início da axiomática, a qual foi desenvolvida por Hipócrates. Os três problemas que deram início ao estudo da axiomática foram: trissecção de um ângulo, duplicação do volume do cubo (problema délico) e quadratura do círculo.

Com as campanhas de Alexandre, o grande, houve um avanço rápido da civilização grega em direção ao oriente. Assim, a matemática grega sofreu as influências dos problemas de administração e da astronomia desenvolvidas no oriente. Este contato entre as duas matemáticas foi extremamente importante e produtivo, principalmente no período de 350 a 200 a.c.. Neste contexto, Alexandria torna-se o centro cultural e econômico do mundo helenístico.

Durante todo o período grego, vários filósofos e matemáticos deram sua contribuição ao desenvolvimento da matemática. Neste período surgem os cientistas, homens que dedicavam sua vida à procura do conhecimento e que por isso recebiam um salário. Será citado, agora, um breve comentário sobre a contribuição dos matemáticos considerados os mais importantes e influentes deste período.

  • Euclides (306?-283? a.c.)

Seu trabalho mais famoso é a coleção “Os elementos”, obra em 13 volumes, que contém aplicações da álgebra à geometria, baseados numa dedução estritamente lógica de teoremas, postulados, definições e axiomas. Até os dias de hoje, este é o livro mais impresso em matemática.

  • Arquimedes (287 – 212 a.c.)

É considerado o maior matemático do período helenístico e de toda antiguidade. Suas maiores contribuições foram feitas no campo que hoje denominamos “cálculo integral”, por meio do seu “método de exaustão”. Arquimedes também deu importante contribuição na mecânica e engenharia, com o desenvolvimento de vários artefatos, principalmente militares. Foi morto por um soldado romano quando da queda de Siracusa.

  • Apolônio de Perga (247-205 a.c.)

Com Apolônio há uma volta à tradicional geometria grega. Ele escreveu um tratado de oito livros sobre as cônicas (parábola, elipse e hipérbole), introduzidas como seções de um cone circular.

  • Ptolomeu (150 d.c.)

Publicou o “Almagesto”, obra de astronomia com superior maestria e originalidade. Nesta obra encontra-se a fórmula para o seno e o cosseno da soma e da diferença de dois ângulos e um começo da geometria esférica.

 

 

  • Nicómaco de Gerasa

Publicou “Introdução à aritmética”, que é a exposição mais completa da aritmética pitagórica. Muito do que sabemos sobre Pitágoras provém desta publicação.

  • Diofanto

Publicou “Arithmética”, a qual recebeu uma forte influência oriental. Este trabalho trata da solução e análise de equações indeterminadas.

Com o domínio da Grécia e do oriente pelos romanos, estas regiões tornaram-se colônias governadas por administradores romanos. A estrutura econômica do império romano permanecia baseada na agricultura. Com o declínio do mercado de escravos a economia entrou em decadência e existiam poucos homens a fomentar uma ciência, mesmo medíocre.

Podemos, então, determinar uma relação entre a crise da matemática e a crise do sistema social, pois a queda de Atenas significou o fim do império da democracia escravagista. Esta crise social influenciou a crise nas ciências que culminou com o fechamento da escola de Atenas, marcando com isto o fim da matemática grega clássica.

 

Podemos observar que as descobertas matemáticas estão relacionadas com os avanços obtidos pela sociedade, tanto intelectuais como comerciais. Se no princípio a matemática era essencialmente prática, visto que as sociedades eram rudimentares, com o desenvolvimento destas sociedades a matemática também evoluiu, passando de uma simples ferramenta que auxiliava aos problemas práticos para uma ciência que serviu como chave para analisar o mundo e a natureza em que vivemos.

Todas as descobertas matemáticas realizadas pelos povos pré-históricos, egípcios e babilônicos serviram como subsídio para a matemática desenvolvida pelos gregos. Esta matemática grega foi, e continua sendo, a base de nossa matemática. Todo o desenvolvimento tecnológico obtido em nossos dias tem como ponto de partida a matemática grega.

Assim, sem a axiomatização desenvolvida pelos gregos, não haveria o desenvolvimento da matemática abstrata e dos conceitos, postulados, definições e axiomas tão necessários à nossa matemática.

Da matemática da antiguidade, fundamental a nós hoje, podemos citar: processos de contagem, numeração, trigonometria, astronomia, geometria plana e volumes de corpos sólidos, sistema sexagesimal, equações quadráticas e bi-quadráticas, relações métricas nos triângulos retângulos, seções cônicas e o método de exaustão, que foi o germe do cálculo integral.

 

 

O Nascimento do Cálculo

 

 

 

Um pouco sobre a história do Cálculo

 

As contribuições dos matemáticos para o nascimento do Cálculo são inúmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou não rigorosa, já utilizavam conceitos do Cálculo para resolver vários problemas - por exemplo, Cavalieri, Barrow, Fermat e Kepler. Nesse tempo ainda não havia uma sistematização, no sentido de uma construção logicamente estruturada.

A união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as Derivadas e as Integrais.

O Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada às derivadas ou Cálculo Diferencial e outra parte relacionada às integrais, ou Cálculo Integral.

As origens de alguns dos principais conceitos matemáticos aqueles que lidam com números, grandezas e formas remontam às mais antigas civilizações.

As tentativas feitas por egípcios, babilônios e gregos de resolver problemas práticos  (Como reduzir as taxas cobradas aos agricultores do vale do Nilo tendo em vista a área alagada e tomada pelo rio a cada ano? Como calcular o volume de um silo de forma cônica? Como dobrar o volume do pedestal da estátua em homenagem ao deus Apolo?) levou-os à resolução de algumas equações, ao cálculo de áreas e volumes de figuras simples como retângulos, trapézios, cones, cilindros e ao desenvolvimento de um sistema de numeração.

“O Cálculo” é uma expressão simplificada, adotada pelos matemáticos quando estes se referem à ferramenta matemática usada para analisar, qualitativamente ou quantitativamente, variações que ocorrem em fenômenos que abrigam uma ou mais componentes de natureza essencialmente física. Quando do seu surgimento, no século XVII, o cálculo tinha por objetivo resolver quatro classes principais de problemas científicos.

1- Determinação da reta tangente a uma curva, em um dado ponto desta.

2-  Determinação do comprimento de uma curva, da área de uma região e do volume de um sólido.

3-  Determinação dos valores máximo e mínimo de uma quantidade por exemplo, as distâncias máxima e mínima de um corpo celeste a outro, ou qual ângulo de lançamento proporciona alcance máximo a um projétil.

4- Conhecendo uma fórmula que descreva a distância percorrida por um corpo, em um intervalo qualquer de tempo, determinar a velocidade e a aceleração.

Embora egípcios e babilônios tivessem conseguido resolver muitos problemas matemáticos envolvendo inclusive equações quadráticas e sistemas de equações e conhecessem muitos resultados de geometria inclusive o famoso Teorema de Pitágoras, tanto egípcios quanto babilônios resolviam os problemas propostos.

Os resultados obtidos por egípcios e babilônios foram assimilados pelos gregos que tiveram o mérito de contribuir para o estabelecimento da matemática da forma como a entendemos hoje.

Foi na Grécia que surgiu o primeiro livro de Matemática – “Os Elementos de Euclides” - que se constituiu na primeira tentativa de sistematização dos conhecimentos adquiridos até então e na construção de uma teoria matemática baseada em poucos postulados.

À matemática empírica de babilônios e egípcios se contrapõe então, à matemática dedutiva da escola grega.

Eram esses os problemas e era esse o estágio de desenvolvimento da matemática desde a Grécia até os séculos XVI e começo do século XVII.

As grandes navegações do século XVI, o surgimento da indústria, os interesses do grande comércio que surgia na época, exigiam conhecimentos novos, principalmente os ligados aos movimentos dos corpos e particularmente ao movimento planetário.

Destes problemas ocuparam-se grandes cientistas do século XVII, porém o clímax destes esforços—a invenção (ou descoberta?) do Cálculo—coube a Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.

Após o estabelecimento dos fundamentos do Cálculo, torna-se possível à análise de problemas físicos de real importância, com precisão e rigor jamais experimentados. São estabelecidos os fundamentos da Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos e tem início o estudo das Equações Diferenciais e Integrais.

 

 

 

O Cálculo Integral: alguns fatos históricos

 

 

Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão.

A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas. Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lúnulas - regiões que se assemelham com a lua no seu quarto-crescente - foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa seqüência nunca poderia ser concluída. Apesar disso, essa foi uma idéia genial que deu origem ao método da exaustão.

A questão mais importante, e que se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola.

Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base.

Outra contribuição de Arquimedes foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo, obtendo uma das primeiras aproximações para o número  “pi”.

O que glorificou seu nome, entretanto, mais do que o cálculo de “pi” por aproximações sucessivas foi o princípio fundamental da hidrostática, a que ele chegara pela mais simples observação da realidade.

 

 

Outras contribuições para o Cálculo

 

 

Outras contribuições para o nascimento do Cálculo Integral foram as de Fermat e Joham Bernoulli .

Aritmética do Infinito Fermat desenvolveu uma técnica para achar a área sob cada uma das, então chamadas, “parábolas maiores,” que era conhecida por Fermat, Blaise Pascal, Descartes, Torricelli e outros.

O Cálculo Integral era visto separadamente por Newton e Leibniz: Newton via o Cálculo como geométrico, enquanto Leibniz o via mais como analítico. Os trabalhos de Leibniz sobre o Cálculo Integral foram publicados em 1684. O nome Cálculo Integral foi criado por Johann Bernoulli e publicado pela primeira vez por seu irmão mais velho Jacques Bernoulli em 1690. O Cálculo de Newton foi simplesmente visto como derivadas “reversas”. Na mesma época da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu o chamado método das frações parciais.

As idéias de Bernoulli foram resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre integrais  Euler daria continuidade ao estudo de funções - ainda prematuro na época.Foi Euler, entretanto, quem criou os fundamentos da Análise.

Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de Matemática, mas de Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Química, por exemplo.

 

 

 

Cálculo Infinitesimal

 

 

Natureza do Cálculo Infinitesimal.

Ocorrendo que uma variável y seja função de outra variável x, se propõe a estudar em dois momentos:

Inicialmente descobre-se uma representação analítica y = f( x ) expressando essa dependência, a seguir estuda-se as propriedades dessa função .

Em oposição ao enfoque mais recente de Cauchy-Weierstrass e que substitui o uso dos infinitésimos por desigualdades tipo epsilon-delta, por ser mais natural e intuitivo, alem de corresponder muito melhor ao modo de pensar dos físicos e engenheiros.

Com a divulgação dos escritos matemáticos de Archimedes na Europa aplicando seus métodos na determinação de áreas, volumes e centros de gravidade, é retomado com enorme ímpeto o estudo dos métodos infinitesimais. De início, a preocupação é apenas a de continuar a tradição arquimediana.

Mas logo o espírito renascentista se faz notar através de Galileu 1620 . Esse, ao contrário dos já citados, procurou ir além dos gregos e não mais se limitar a estudar as grandezas de natureza geométrica da Astronomia, Óptica e Estática. Ele é a primeira grande inteligência a estudar quantitativamente áreas nunca abordadas pelos gregos clássicos: Cinemática, Dinâmica, Elasticidade, etc.

O enorme prestígio de Galileu possibilitou que todos vissem que os métodos infinitesimais eram os instrumentos adequados para o estudo dessas novas disciplinas, passados 100 anos surgiu Newton, esse já encontrou uma ampla base matemática e física para a composição do primeiro grande monumento celebrando o poder do Cálculo Infinitesimal.

As gerações de matemáticos que vieram após Newton em grande maioria seguiram seus passos, procurando novos resultados tanto nos aspectos técnicos do Cálculo como em suas aplicações a aspectos teóricos da Mecânica.

Há publicações que diz que Newton e Leibniz inventaram o CI, certamente não, pois quando Newton e Leibniz começaram a trabalhar já tinham sido estabelecidos cerca de 1000 resultados de Cálculo Infinitesimal.

Leibniz, em 1684, iniciou essencialmente o Cálculo Diferencial. Contudo, ao contrário do atual CD que é baseado na noção de derivada, o CD de Leibniz era baseado na noção de diferencial.

Newton foi o primeiro a usar sistematicamente o Teorema Fundamental do Cálculo Integral, descoberto por Barrow.

O primeiro livro-texto de Cálculo Infinitesimal, foi publicado em 1696 pelo Marquês de L’Hopital: “Análise dos Infinitamente Pequenos”.

 

 

 

Origem do conceito de derivada de uma função

 

 

O conceito de função que hoje pode parecer simples é o resultado de uma lenta e longa evolução histórica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos Babilônios utilizaram tabelas de quadrados e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os Pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à mesma tensão com o seu comprimento. Nesta época o conceito de função não estava claramente definido.

Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um grande impulso a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. Por outro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a “criação” de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relações entre variáveis. Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto, para determinar uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou a reta PQ secante à curva, obtendo deste modo retas PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat chamou a reta tangente à curva no ponto P. Estas idéias constituíram o embrião do conceito de DERIVADA e levou Laplace a considerar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial”. Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido. Só no século XIX Cauchy introduzia formalmente o conceito de limite e o conceito de derivada, a partir do séc. XVII, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumento cada vez mais indispensável pela sua  aplicabilidade aos mais diversos campos da ciência.

 

 

 

 

 

 

 

 

Aplicações do Cálculo

 

 

ü      Administração e Economia

 

1)Análise de mercado. Após considerável estudo do mercado, uma firma de artigos esportivos decidiu sobre duas cidades possíveis para abrir uma nova loja. A administração estima que a cidade 1 dará um retorno de $20 milhões em caso  de sucesso e ocasionará uma perda de $4 milhões em caso contrário. A cidade 2 dará um retorno de $50 milhões em caso de sucesso e ocasionará uma perda de $9 milhões em caso contrário. A probabilidade de sucesso da cidade 1 é de 0,3; a da cidade 2é de 0,2. Em que cidade a companhia deve abrir a nova loja, levando em conta o retorno esperado de cada loja?

 

 

2)Conta de Aposentadoria Individual. Faz-se, cada ano, um depósito de $2.000 em uma conta que rende 11% de juro composto anualmente. O saldo após n anos é dado por

 

 

(a) Calcule os seis primeiros termos da seqüência.

 

(b) Ache o saldo ao cabo de 20 anos calculando o 20º termo da seqüência.

 

(c) Ache o saldo ao cabo de 40 anos calculando o 40º termo da seqüência.

 

 

3) Função custo. O custo marginal da fabricação de x unidades de um produto tem

como modelo

      custo marginal

A produção de uma unidade custa $50. Ache o custo total da produção de 200

Unidades.

 

 

 

ü      Ciências Vitais

 

1) Disseminação de uma Doença. Uma doença infecciosa se dissemina em uma grande população de acordo com o modelo.

 

 

Onde y é a percentagem da população exposta á doença e t é o tempo em anos.

 

(a) Resolva esta equação diferencial, supondo y (0) =0.

 

(b) Ache o número de anos necessário para que metade da população fique exposta á doença.

(c) Ache a percentagem da população exposta à doença ao cabo de 4 anos.

 

 

2) Modelo para o peso de um corpo. O peso de um macaco rhesus adulto do sexo masculino tem distribuição normal com média de 15 libras e desvio padrão de 3 libras. Em uma população típica de macacos rhesus adulto do sexo masculino, que percentagem de macacos deve ter peso a menos de um devido padrão da média?

 

 

3) Mortalidade Infantil. Para estudar o número de mortos infantis por 1.000 nativos nos Estados Unidos, um pesquisador médico obteve os dados abaixo.(Fonte: department of Health and Human Services.)

 

ano

1950

1960

1970

1980

1988

1991

Mortes y

29,2

26,0

20,0

12,6

10,0

9,0

 

(a) Estabeleça a reta de regressão de mínimos quadrados para os dados e aplique-a para estimar o número de mortes de crianças em 1998. Represente 1970 por t = 0.

 

(b) Estabeleça a função quadrática de regressão de mínimos quadrados para os dados e estime, por meio dela, o número de mortes infantis em 1998.

 

 

 

ü      Ciências Sociais e do Comportamento

 

 

1) Crescimento Populacional. A taxa de variação da população de uma cidade é proporcional á população p no instante arbitrário t. Em 1993, a população era de 400.000 e a constante de proporcionalmente era 0,015. Estime a população da cidade no ano 2000.

 

 

2) Oferta de Emprego.  Uma pessoa aceita um emprego em uma firma a um salário de $32.800 por ano, com a garantia de um aumento de 5% por ano durante os quatro primeiros anos. Determine o salário dessa pessoa durante o quarto ano de emprego.

 

 

3) População de uma cidade. A densidade populacional (em habitantes por milha quadrada) de uma cidade admite o modelo.

 

 

 

Onde x e y são dados em milhas. Estabeleça uma aproximação para a população da cidade. Qual é a densidade populacional média da cidade?

 

 

4) Renda Pessoal. Em certo bairro de uma grande cidade, a distribuição de probabilidade da variável aleatória x, renda anual de uma família em milhares de dólares, é dada pela tabela seguinte.

 

x

30

40

50

60

80

P (x)

0,10

0,20

0,50

0,15

0,05

 

Calcule E(x) e

 

 

ü      Cálculo Estequiomètrico

 

Nas reações químicas, é importante se prever a quantidade de produtos que podem ser obtidos a partir de uma certa quantidade de reagentes consumidos.

Os cálculos que possibilitam prever essa quantidade são chamados de cálculos estequiométri       (A palavra estequiometria vem do grego stoicheia (partes mais simples) e metreim (medida)).

Essas quantidades podem ser expressas de diversas maneiras: massa, volume, quantidade de matéria (mol), número de moléculas.

Os cálculos estequiométricos baseiam-se nos coeficientes da equação. É importante saber que, numa equação balanceada, os coeficientes nos dão a proporção em mols dos participantes da reação.

Nos meados do século XVIII, cientistas conseguiram expressar matematicamente certas regularidades que ocorrem nas reações químicas, baseando-se em leis de combinações químicas que foram divididas em ponderais (que se relacionam às massas dos participantes da reação) e volumétricas (explicam a relação entre os volumes das substâncias gasosas que participam de um processo químico).

 

 

ü      Ciências Físicas

 

1) Custo de construção. Deve-se construir uma cerca para envolver um terreno retangular de 4.800 pés quadrados. O material para três lados da cerca custa $3 por pé, e o material para o quarto lado custa $4 por pé.

 

(a) Ache as dimensões mais econômicas da região.

 

(b) Como se modificaria o resultado da parte (a) se o custo do material para todos os lados aumentasse de $1 por pé?

 

 

2) Velocidade e Aceleração. A tabela dá a velocidade v (em pés por segunda) de carro em aceleração durante um intervalo de 20 segundos. Aplique a regra do Trapézio para obter uma aproximação da distância, em pés, que o carro percorre durante 20 segundos.(A distancia é dada por ).

 

 

Tempo, t

0

5

10

15

20

Velocidade, v

0,0

29,3

51,3

66,0

73,3

 

 

 

ü      Geral

 

1) Despesas com Universidade. Em 1993, o custo total para freqüentar a Universidade do Notre Dame por 1 ano era da ordem de $19.937.Se seus avós tivessem investido continuamente em um fundo universitário segundo o modelo

 

F(t) = 250t

 

Por 18 anos,  uma taxa anual de juros de 10%, o montante atingindo seria suficiente para custear 4 anos naquela universidade?

 

 

2) Despesa do Governo. Um programa de governo, que normalmente custa aos contribuintes $1,3 bilhões por ano, deve sofrer um corte de 15% ao ano.

 

(a) Dê a expressão da importância que deve ser consignada no orçamento para este programa após n anos.

 

(b) Calcule o valor da rubrica orçamentária para os quatro primeiros anos.

 

(c) Determine a convergência ou a divergência das sucessivas consignações  orçamentais. Se a seqüência converge, ache o limite.

 

 

3) Modelo do Preço Médio de uma Casa. A tabela abaixo dá o preço médio y (em milhares de dólares) de uma casa nova para família nos Estados Unidos, de 1965 a 1991. Determine a regressão quadrática de mínimos quadrados para este conjunto de dados e use o resultado para predizer o preço médio de uma casa para família americana em 1998.(Fonte: U.S Bureau of Census).

 

Ano

1965

1970

1975

1980

1985

1988

1990

1991

y

21,5

26,6

42,6

76,4

100,8

138,3

149,8

147,2

 

 

 

ü      Cálculo de Áreas da antiguidade até o século  XVII

 

 

Já era bem conhecido dos egípcios ( 2000 A.C. ) as fórmulas para se calcular as áreas de triângulos, retângulos, trapézios e até mesmo a área aproximada do círculo, onde o valor de  π era substituído por 3.1/6, uma aproximação notável para a época. Figuras mais complexas eram decompostas em triângulos ou retângulos e sua área calculada como a soma das áreas das regiões resultantes desta decomposição. Por exemplo, conhecendo-se somente a fórmula para áreas de triângulos, como era  possível calcular a área da figura:

 

 

 

 

 

Até o século XVII, quando foram estabelecidos os fundamentos do Cálculo Diferencial e Integral como uma teoria matemática digna de crédito, não se conhecia nenhuma fórmula ou método geral que se pudessem aplicar para resolver o problema de calcular áreas de regiões limitadas por curvas quaisquer. Por exemplo, como calcular a área da região limitada por uma parábola e duas retas?

 

 

 

 

 

A velocidade instantânea contribuiu muito para o desenvolvimento do Cálculo este fato motivou a necessidade de saber defini-la e determiná-la uma equação que se procurava resolver tais problemas, como por exemplo:

O gráfico abaixo nos fornece para cada instante de tempo t,  dado em segundos, o espaço s  percorrido:

 

 

 

 

A reta tangente a uma curva tem um importante significado físico no estudo do movimento de corpos. Este fato motivou a necessidade de saber defini-la e determiná-la. Desde que se saiba um pouco de geometria analítica, o que já era bem conhecido no século XVII. Como a reta que intercepta a circunferência em um único ponto que é chamado ponto de tangência.

 

 

 

 

 

 

A circunferência não é a única curva para a qual a reta tangente pode ser definida dessa maneira. A mesma definição pode ser usada, por exemplo, no caso de elipses.

 

 

 

 

 

 

 

Pode ser também usada na determinação de pontos Máximos e Mínimos

 

 

 

 

Comprimento de Arco foi uma grande contribuição para a história do cálculo, embora, desde a antiguidade, já fosse conhecido a medida do comprimento de um arco de circunferência, por muito tempo pensou-se que o problema de se retificar certas curvas, isto é de construir um segmento de reta de mesmo comprimento de uma dada curva, tal como um arco de parábola, era impossível de ser resolvido para curvas algébricas. Foi por volta de 1650, usando técnicas do Cálculo Infinitesimal que William Neil resolveu pela primeira vez o problema de calcular o comprimento de um arco da parábola semicúbica   . William Neil tinha na época vinte anos e dele, aparentemente, nunca mais se ouviu falar. Novamente, um cálculo aproximado para este problema pode ser feito tomando-se subdivisões do arco da curva e ligando-os por segmentos de reta. Calcular o comprimento do arco da parábola , para x intervalo [0,5].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Biografias

 

 

 

  • Isaac Newton (1642-1727)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Isaac Newton nasceu prematuramente no dia de Natal de 1642, no mesmo ano em que faleceu Galileu. O pai tinha morrido pouco antes do seu nascimento e a mãe voltou a casar-se quando ele tinha três anos. Foi educado pela avó e freqüentou a escola em Woolsthorpe.      A Inglaterra vivia um período político e intelectualmente tempestuoso. A guerra civil começara alguns meses antes. A revolução científica, que começara com a. publicação da ilustre obra de Copérnico De revolutionibus orbium celestium, em 1543, havia sido bastante desenvolvida pelas obras de outros astrônomos como Kepler e Galileu. Quando completou quatorze anos a mãe, viúva pela segunda vez, regressa a Woolsthorpe com os três filhos do segundo casamento. Enquanto freqüenta a Grantham Grammar School  Newton é encarregue de a ajudar na gestão dos negócios da família, o que não lhe agrada. Por isso divide o seu tempo entre os livros e a construção de engenhosos entretenimentos como, por exemplo, um moinho de vento em miniatura ou, um relógio de água. Um tio materno ao aperceber-se do seu talento extraordinário convenceu a mãe de Newton a matriculá-lo em Cambridge. Enquanto se preparava para ingressar em Cambridge, Newton instalou-se na casa do farmacêutico da vila. Aí conheceu a menina Storey por quem se apaixonou e de quem ficou noivo antes de deixar Woolsthorpe para ingressar no Trinity College em Junho de 1661. Tinha  então dezenove anos. Apesar de ter muito afeto por este primeiro e único amor da sua vida, a absorção crescente com o trabalho levou-o a relegar a sua vida afetiva para segundo plano. Na verdade, Newton nunca se casou. Vários fatores influenciaram o desenvolvimento  intelectual e a direção das pesquisas de Newton, em especial  as idéias que  encontraram nos seus primeiros anos de estudo, os problemas que descobriu através da leitura e o contacto com outros que trabalhavam no mesmo campo. No início do seu primeiro ano estudou um exemplar dos Elementos de Euclides (séc. IV-III A.C.), a Clavis de Oughtred (1574-1660), a Geometria de Descartes (1596-1650), a Óptica de Kepler (1571-1630), as obras de Viète (1540-1603) e também Arithmetica infinitorum de Wallis. Depois de 1663, assistiu a aulas dadas por Barrow e conheceu obras de Galileu (1564-1642), Fermat (1601-1665), Huygens (1629-1695) e outros.

Quer isto dizer que, em grande parte, Newton foi um autodidata. Nos finais de 1664, tendo atingido as fronteiras do conhecimento matemático  estava pronto para realizar as suas próprias contribuições. Nos primeiros meses de 1665 exprimiu funções em termos de séries infinitas. De igual modo começou a pensar na taxa de variação e, ligando estes dois problemas, considerou-os como “o meu método”.

Durante 1665/1666, após ter obtido o seu grau de Bacharel, o Trinity College foi encerrado devido à peste. Este foi para Newton o período mais produtivo, pois nesses meses, na sua casa de Lincolnshire, realizou quatro das suas principais descobertas:

  1. O teorema binomial
  2. O cálculo
  3. A lei da gravitação
  4. A natureza das cores

Esse ano foi considerado extremamente frutuoso para a história das Ciências e, em conseqüência, foi denominado por “Annus mirabilis” por muitos historiadores.

Newton não se concentrou apenas numa só área de estudos. Os seus esforços e seu gênio estavam voltados para muitos interesses. Para além da a Matemática e da Filosofia Natural, as suas duas grandes paixões foram a Teologia e a Alquimia. Homem de espírito científico nato, Newton propôs-se encontrar por meios experimentais a que é que correspondiam exatamente as afirmações dos alquimistas. Enquanto teólogo, Newton acreditava, sem questionar, no criador todo poderoso do Universo fazendo, contudo questão de entender por ele próprio o que a generalidade dos seus contemporâneos acreditava sem discussão: o relato da criação. Nesse sentido, desenvolveu esforços para provar que as profecias de Daniel e que o “Apocalipse” faziam sentido, e realizou  pesquisas cronológicas com o objetivo de harmonizar historicamente as datas do Antigo Testamento.

Quando regressou a Cambridge em 1667 Newton foi eleito Fellow do Trinity College e, em 1669, com vinte seis anos, sucedeu a Barrow como Professor de matemática por recomendação do próprio Barrow. As suas primeiras lições foram sob óptica e nelas expôs as suas próprias descobertas. Já em 1668 tinha construído com as suas próprias mãos um telescópio de espelho muito eficaz e de pequeno tamanho. Utilizou-o para observar os satélites de Júpiter e, possivelmente, para comprovar a universalidade da sua lei da gravitação universal.

Na sua eleição para a Royal Society em 1672 Newton comunica o seu trabalho sobre telescópios e a sua teoria corpuscular da luz, o que vai dar origem à primeira de muitas controvérsias que acompanharam os seus trabalhos.

Os esforços de Newton no campo da matemática e das ciências foram grandiosos, mas a sua maior obra foi sobre a exposição do sistema do mundo, dada na sua obra denominada Principia. Durante a escrita do Principia Newton não teve qualquer cuidado com a saúde, esquecendo-se das refeições diárias e até de dormir.

Os dois primeiros volumes dos Principia contêm toda a sua teoria, incluindo a da gravitação e as leis gerais que estabeleceu para descrever os movimentos e os pôr em relação com as forças que os determinam, leis denominadas por “leis de Newton”. No terceiro volume, Newton trata as aplicações da sua teoria dos movimentos de todos os corpos celestes, incluindo também os cometas.

Os vários ensaios de Newton sobre o cálculo ficaram desconhecidos durante muito tempo devido às suas próprias reservas em publicar esses trabalhos. Durante muito tempo os únicos ensaios que tornaram conhecido o cálculo de Newton foram os seguintes :

  1. De analysi per aequationes numero terminorum infinitas tratado enviado em 1669 por Barrow a Royal Society em nome de “um amigo meu daqui que tem uma certa qualidade para tratar este assunto.” O tratado circulou em forma de manuscrito por diversos membros da Royal Society. Planos de uma breve publicação foram apenas realizados em 1711.
  2. Methodus fluxionum et serium infinitarum  tratado sobre fluxões, escrito em 1671 que não foi publicado durante a vida de Newton. Só em 1736/7 surgiu uma tradução em inglês.
  3. Tractatus de quadratura curvarum tratado sobre quadratura de curvas escrito em 1693, mas publicado em 1704 como apêndice à Óptica de Newton.
  4. Principia continha muita passagem relevante exposta na forma geométrica em 1687.

Newton, que guardava para si as suas extraordinárias descobertas, foi convencido por Halley (1656-1742) a dá-las a conhecer. Halley responsabilizou-se por tudo o que estava relacionado com a publicação dos trabalhos do seu amigo, nomeadamente, pelas despesas de tal processo. A publicação do livro III do Principia deu-se apenas pelo fato de Newton ter sido alertado por Halley que, se tal não acontecesse, os anteriores volumes não eram vendidos e, como tal, ele ficaria arruinado financeiramente.

Os contemporâneos de Newton reconheceram a magnitude dos Principia, ainda que, apenas alguns conseguissem acompanhar os raciocínios nele expostos. Rapidamente, o sistema newtoniano foi ensinado em Cambridge (1699) e Oxford (1704).

Na França, a penetração das idéias de Newton não foi tão rápida. Mas é na França, passado meio século, que Newton encontra o seu maior sucessor, Laplace (1749-1827) que vai atribuir a si próprio a tarefa de continuar e aperfeiçoar os Principia.

Após ter escrito os Principia, Newton parece sentir-se saturado com a “Philophia naturalis” e vai ocupar-se de outros assuntos. Em Janeiro de 1689, é eleito para representar a universidade na convenção parlamentar onde se mantém até à sua dissolução em Fevereiro de 1690. Durante esses dois anos viveu em Londres onde fez novas amizades com pessoas influentes incluindo John Locke (1632-1704).

No Outono de 1692 Newton adoece seriamente. A aversão à comida e as insônias persistentes que lhe tinham permitido escrever os Principia conduzem-no para perto do colapso total.

Newton recupera a saúde em finais de 1693 para regozijo dos seus amigos, incluindo aquele que mais tarde se tornaria o seu maior inimigo, Leibniz (1646-1716).

Com efeito, no ano da sua recuperação, Newton toma conhecimento que o cálculo se estava a tornar conhecido no Continente e que era atribuído a Leibniz. A principio, as relações entre Newton e Leibniz eram cordiais como mostra a correspondência entre estes dois grandes homens. Newton reconhecia os méritos de Leibniz e Leibniz os de Newton e em nenhum momento algum deles teria tido a mínima suspeita que algum tivesse roubado ao outro qualquer idéia do cálculo. Mais tarde, por volta de 1712, quando até o comum cidadão inglês tinha já a vaga idéia que Newton tinha construído algo de monumental, a questão de quem tinha inventado o cálculo torna-se uma questão de orgulho nacional. A Inglaterra vai cerrar hostes em torno de Newton e acusar Leibniz de ser um ladrão e um mentiroso. Leibniz e os seus apoiantes vão responder do mesmo modo. Assim se inicia a célebre controvérsia Newton-Leibniz sobre a invenção do cálculo, controvérsia que vai desgostar Newton e que vai ter como grave conseqüência a estagnação das matemáticas na Inglaterra durante cerca de um século. Em França e na Suíça os seguidores de Leibniz, munidos de uma melhor notação para o cálculo, vão desenvolvê-lo e simplificá-lo. Em 1699, Newton é nomeado Máster of the Mint com a tarefa de reformar e supervisionar a cunhagem da moeda. Em 1701/2 é novamente representante da universidade de Cambridge no parlamento e em 1703 vai ser eleito presidente da Royal Society, cargo honorário para o qual é sucessivamente reeleito até à sua morte. Em 1705 é investido cavaleiro pela rainha Anna. É de lamentar que após 1693, Newton não se tenha dedicado mais à matemática. Ele teria facilmente criado uma das mais importantes aplicações do cálculo: o cálculo das variações que será desenvolvido pelos Bernoulli (1623-1759) por Euler (1707-1783) e por Lagrange (1765-1843). Já nos Principia Newton tinha sugerido este assunto quando calcula a forma de uma superfície de revolução que atravessa uma massa de liquido oferecendo resistência mínima. Também em 1696, resolve - em poucas horas diz-se - o clássico problema da brachistochrona: determinar a forma da trajetória que uma massa em queda, sob a ação da gravidade, descreve entre dois pontos dados num tempo mínimo. Este problema tinha sido colocado por Johann Bernoulli e Leibniz tinha proposto uma solução que desafiava os matemáticos europeus da altura. Cautelosamente, Newton vai comunicar a sua solução à Royal Society de maneira anônima. Bernoulli ao ver a solução terá exclamado: “Ah! Reconheço o leão pela sua pata.” (cit in Bell, Men of Mathematics,1986: p.115) Poucas semanas antes da sua morte, Newton  presidiu a uma secção da Real Society. Foi eleito sócio estrangeiro da Academia das Ciências Francesa em 1699. Faleceu a vinte de Março de 1727, entre a uma ou duas da manhã, durante o sono, com oitenta e cinco anos. Teve direito ao elogio fúnebre oficial pronunciado pelo secretário da Academia, Bernard le Bovier de Fontenelle. Foi sepultado no Panteão de Londres, junto aos reis de Inglaterra, na Abadia de W. estminster.

 

 

 

  • Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Barão Gottfried Wilhelm Leibniz, ou apenas Leibniz, como é mais conhecido, nasceu em Leipzig, na Alemanha, em 1 de julho de 1646. Seu pai, Friedrich Leibniz era professor de ética em Leipzig e morreu em 1652. Leibniz aprendeu sozinho latim e grego para ler grandes autores na biblioteca de seu pai. Em 1661 a 1666 cursou a Universidade de Leipzig como estudante de direito, quando então, teve contacto com textos de filósofos modernos da época, tais como Bacon (1561-1626), Hobbes (1588-1679), Galileu (1564-1642 )e Descartes(1596-1650). Em sua tese de bacharelado "Sobre o Princípio do Individual", de 1663, Leibniz enfatiza que o valor existencial do indivíduo não deve ser explicado somente pela matéria ou pela forma mas, antes por seu total.                       
             Em 1666 escreveu De Arte Combinatória no qual formulou um modelo que é o precursor teórico de computação moderna: todo raciocínio, toda descoberta, verbal ou não, é redutível a uma combinação ordenada de elementos tais como números, palavras, sons ou cores. Formando-se em leis em 1666, Leibniz candidatou-se ao doutorado e, sendo recusado devido a sua pouca idade, deixou Leipzig para sempre. Fez estudos de matemática em Jena. Na cidade livre de Nürnberg recebeu o título de doutor com a tese "Sobre Casos Intrigantes" e foi convidado a lecionar na universidade. Lá conheceu em 1667 Johann Christian, o Barão de Boyneburg, ilustre estadista alemão que o empregou e o introduziu na corte do príncipe e arcebispo de Moguncia, Johann Philipp Von Schönborn, para assuntos de direito e política.  Em 1667 Leibniz dedicou ao príncipe um trabalho no qual mostrava a necessidade de uma filosofia e uma aritmética do direito e uma tabela de correspondência jurídica. Tratava-se de um sistema lógico de catalogação, o qual pode muito bem ser comparado aos atuais princípios da informática. Por causa desse trabalho foi incumbido de fazer a revisão do “corpus júri latini", a então consolidação do direito romano vigente. Na área religiosa Leibniz se esforçou para a união das religiões protestante e católica. Leibniz trabalhou no Demonstrationes Catholic, cujas especulações levam-no a situar a alma num determinado ponto e a desenvolver o princípio da razão suficiente, segundo o qual nada acontece sem uma razão. Suas conclusões aparecem em 1671 num trabalho com o título Hypothesis Physica Nova. Conclui que o movimento depende, como na teoria do astrônomo alemão Johannes Kepler, da ação de um espírito (no caso, Deus).Em 1672 Leibniz vai a Paris em uma obscura missão diplomática: convencer Luiz XIV a conquistar o Egito, aniquilar a Turquia para evitar novas invasões bárbaras da Europa, via Grécia. Era uma estratégia para desviar o poderio militar da França de uma ameaça à Alemanha. Em Paris, conhece Antoine Arnauld (1612-1694), teólogo líder dos jansenistas. Estes eram seguidores de uma doutrina que negava a liberdade de vontade e negava que Cristo houvesse morrido por todos os homens, considerados hereges pela Igreja Católica. Com Arnauld, Leibniz discute sobre a possibilidade da união das igrejas, filosofia e matemática. Arnauld era conhecido pelos seus ataques aos jesuítas e foi demitido da Sorbone por heresia em 1656. Mais tarde, em 1682, iria refugiar-se em Bruxelas, Bélgica, onde escreveria suas idéias. Por essa ocasião Leibniz perde sucessivamente os seus protetores. Morreu o Barão de Boyneburg em fins de 1672 e o príncipe eleitor de Mainz no início de 1673. Buscando meios de manter-se, construiu uma máquina de calcular, um aperfeiçoamento de uma máquina desenvolvida anteriormente por Blaise Pascal, matemático e cientista francês e escritor, e indo à Inglaterra, apresentou-a a Royal Society em 1673.

Em Londres Leibniz procurou os matemáticos e cientistas, inclusive Robert Boyle, e entre eles, John Collins, um amigo do físico Sir Isaac Newton, a quem voltaria a encontrar mais tarde. A permanência de Leibniz em Paris se prolonga até 1676, onde pratica advocacia e trata com vários intelectuais, além de Arnauld, como Malebranche e Huygens. Christian Huygens (1629-1695), matemático, astrônomo e físico holandês ajudou -o nos cálculos matemáticos. Residindo em Paris, Huygens criou a teoria ondulatória da luz, introduziu o uso do pêndulo nos relógios, descobriu a forma dos anéis de Saturno. Eleito membro fundador da Academia de Ciências da França em 1666, morou lá até 1681, retornando então para a Holanda. Arnauld o apresenta a muitos jansenistas importantes em 1674, entre eles, a Étiene Périer, sobrinho de Pascal que confiou a Leibniz trabalhos não publicados de Pascal. Em 1675 entretêm com Nicolas Malebranche, outro geômetra e filósofo cartesiano, discussões enquanto trabalha no desenvolvimento dos cálculos integrais e diferenciais, cujos fundamentos lança naquele mesmo ano 1675. Ainda sem renda garantida para sua sobrevivência, Leibniz é obrigado, em 1676, a aceitar um emprego na Alemanha. Deixa Paris contra sua vontade, viajando primeiro para a Inglaterra e a Holanda. Em Londres esteve novamente com John Collins, que lhe permitiu ver alguns trabalhos não publicados de outros matemáticos, principalmente de Newton. Na Holanda, em Haia, teve demoradas conversas com o filósofo racionalista judeu Baruch de Espinoza, com quem discute problemas metafísicos. Espinoza (1632-1677) fora excomungado pelas autoridades judaicas pela sua explicação não tradicional da bíblia em 1656 e um ano depois do encontro com Leibniz, Espinoza se recolhe ao campo para escrever sua "Ética" (1677) e outros livros, inclusive o “Tratado Teológico-político" (1670) advogando liberdade de filosofia em nome da piedade e da paz pública. Retornando à Alemanha, em fins de 1676, Leibniz trabalha para João Frederico, Duque de Hanôver, um luterano convertido ao catolicismo. Veio a ser, a partir de 1678, conselheiro do Duque e se propôs inúmera realização de interesse para o Ducado. Continua a manter debates sobre a união das religiões protestantes e católicas, primeiras com o Bispo Cristóbal Rojas de Espínola e, através de correspondência, com Jacques Benigne Bossuet, bispo católico francês. Conhece também Nicolaus Steno, um prelado que era um cientista especializado em geologia. Nessa época Leibniz se ocupa de várias tarefas, entre elas, da inspeção dos conventos e melhoria da educação com fundação de academias, e desenvolve inúmeras pesquisas sobre prensas hidráulicas, moinhos, lâmpadas, submarinos, relógios, idealiza um modo de melhorar as carruagens e faz experiências com o elemento fósforo recém descoberto pelo alquimista alemão Henning Brand. Desenvolveu também uma bomba d'água para melhorar a exploração das minas próximas, nas quais freqüentemente trabalhou como engenheiro entre 1680 e 1685. Leibniz é considerado um dos criadores da geologia, devido a riqueza de suas observações, inclusive devido à hipótese de ter sido a terra primeira líquida, idéia que apresenta no seu Protogeae, que somente foi publicado após sua morte, em 1749. Tantas ocupações não interromperam seu trabalho em matemática. Em 1679 aperfeiçoou o sistema de numeração binário, base da moderna computação e, ao fim do mesmo ano, propôs as bases do que é hoje a topologia geral, parte da alta matemática. A essa altura, início de 1680, falece o Duque João Frederico, que é sucedido pelo irmão Ernesto Augusto. A situação política agora é mais complicada para a Alemanha. A França, com Luís XIV torna-se uma ameaça. Aumentam as perseguições aos protestantes, culminando com a revogação do Édito de Nantes em 1685, um perigo para os principados alemães protestantes da fronteira.

Em 1681 Luís XIV avançou anexando à França algumas cidades da Alsacia. O Império Germânico era ameaçado também em seu flanco oriental por uma revolta na Hungria e pelo avanço dos turcos que chegaram a assediar Viena em 1683. Leibniz continua seu esforço nas frentes mais variadas, tanto pelo Ducado quanto pelo Império. Sugeriu meios de aumentar a produção de tecidos, propôs um processo de dessalinização da água, recomendou a classificação dos arquivos e, em 1682, sugeriu a publicação de um periódico, Acta Eruditorum. Na área política escreveu, em 1683, um violento panfleto contra Luís XIV, intitulado O Mais Cristão Deus da Guerra, em francês e latim. Aí Leibniz expôs seus pensamentos a respeito da guerra com a Hungria. Nessa mesma época continuou a aperfeiçoar seu sistema metafísico buscando uma noção de causa universal de todo ser, tentando chegar a um ponto de partida que reduzisse o raciocínio a uma álgebra do pensamento. Continuou também a desenvolver seus conhecimentos matemáticos e físicos.  Em 1684 publicou Nova Methodus pro Maximis et Minimis, uma exposição do seu cálculo diferencial. Desde 1665 Newton também havia descoberto o cálculo, mas apenas comunicara seus achados aos amigos e não os publicou. Entre esses amigos John Collins. Quando se soube que Leibniz havia estado com Collins na Inglaterra e visto alguns escritos de Newton, abriu-se a questão de prioridade da invenção do cálculo, que se tornou uma das mais famosas disputas do século XVIII. Suas “Meditações sobre o conhecimento, a verdade e as idéias" apareceu nessa época definindo sua teoria do conhecimento. Em 1686 escreveu o "Discours de métaphysique" seguido de "Breve demonstração do memorável erro de Descartes e outros, sobre a Lei da Natureza". Pode se dizer que por volta de 1686 sua filosofia da monadologia estava definida, porem a palavra "mônada" seria inserida mais tarde, em 1695. Em 1687 correspondeu-se com Pierre Bayle, o filósofo francês e enciclopedista que editava o influente jornal Notícias da República das Letras, afirmando em suas cartas sua independência dos cartesianos. Essa correspondência antecipou os Essais de théodicée sur la bonté de Dieu, la liberté de l'homme et l'origine du mal, único de seus livros mais importantes a ser publicado em sua vida, em 1710. Em 1685 Leibniz foi nomeado historiador da Casa de Brunswick e conselheiro da corte. Seu trabalho seria provar, por meio da genealogia, que a casa nobre de Brunswick tinha suas origens na casa de Este, uma casa de príncipes italianos, o que permitiria Hanôver pretender um nono eleitorado. Em 1687 Leibniz começou a viajar em busca de documentos.      Seguiu pelo sul da Alemanha até a Áustria, ao tempo que Luís XIV mais uma vez declarava guerra ao Império. Foi bem recebido pelo Imperador e de lá seguiu para a Itália. Por onde ia encontrava-se com cientista e continuava seu trabalho intelectual. Publicou em 1689 seu ensaio sobre o movimento dos corpos celestes. Este ano leu o Principia Matemática de Newton. Retornou a Hanôver em 1690. Seus esforços não foram em vão. Em 1692 Ernesto Augusto obteve a investidura como Eleitor dos Imperadores do Sacro Império Germânico. Dono de enorme energia intelectual, Leibniz continua estudos dos mais diversos, agora sobre a história da Terra, compreendendo os eventos geológicos e a descrição de fósseis.      Procurou, por meio de monumentos e de vestígios lingüísticos, a origem das migrações dos povos, origem e progresso da ciência, ética e política e, finalmente, por elementos da história sacra. Em seu projeto de uma história universal Leibniz nunca perdeu de vista o fato de que tudo se interliga. Apesar de não conseguir escrever essa história, seus esforços foram influentes porque ele divisou novas combinações de velhas idéias e inventou outras totalmente novas. Em 1695 ele expôs uma parte de sua teoria dinâmica do movimento no Système Nouveau, onde tratava do relacionamento de substancias e da harmonia preestabelecida entre a alma e o corpo. Deus não necessita de intervir na ação do homem por meio de seu pensamento, como Malebranche postulava, ou dar corda num tipo de relógio de modo a conciliar os dois; em lugar disso, o Supremo Relojoeiro fez que correspondessem exatamente corpo e alma, eles dão sentido um a outro desde o começo. Em 1697, em "Sobre a origem das coisas", Leibniz tentou provar que a origem última das coisas não pode ser outra senão Deus. No início de 1698 morreu o príncipe eleitor Ernesto Augusto, sucedendo-o seu filho George Luís. Incompatibilizado com o novo príncipe, mal educado e desagradável, Leibniz valia-se da amizade de Sofia, viúva, e de Sofia Carlota, filha do falecido príncipe. Com a ajuda da jovem princesa Carlota, a qual logo seria a primeira rainha da Prússia, promoveu a criação da Academia de Ciências de Berlim (Capital da Prússia, que era o norte da Alemanha e parte do norte da atual Polônia) em 1700. Mais uma vez pôs-se a trabalhar arduamente pela união das igrejas: em Berlim tratava-se de unir luteranos e calvinistas; em Paris havia a oposição de Bossuet; em Viena, para onde retorna em 1700, consegue o apoio do Imperador, e na Inglaterra são os anglicanos que precisam ser convencidos. Esta atividade deu oportunidade para comunicar-se com intelectuais ingleses, como o deísta John Toland, que vem acompanhando o embaixador da Inglaterra enviado a Hanôver em 1702, com o bispo de Salisbury, chefe da Igreja Anglicana, e Lady Darnaris Masham em cuja casa John Locke viria a falecer em 1704. Leibniz estava impressionado com as qualidades do Czar russo, Pedro o Grande e, em 1711, foi recebido a primeira vez pelo Czar. Em outono de 1714 o Imperador nomeou-o conselheiro do império e lhe deu o título de Barão. Ainda nessa época escreveu Príncipes de la nature e de la Grace fondés en raison, cujo objeto é a harmonia preestabelecida entre essas duas ordens. Mais tarde, em 1714, escreveu Monadologia que sintetiza a filosofia da "Teodicéia". Em meados de 1714, a morte da rainha Ana levou George Luís ao trono da Inglaterra com o nome de George I. Retornando a Hanôver, onde ele estava virtualmente em prisão domiciliar, Leibniz pôs-se novamente a trabalhar no Annales Imperii Occidentis Brunsvicenses (Anais braunsvicenses do Império Ocidental), ocupando-se também de extensa correspondência com Samuel Clarke. Em Bad-Pyrmont ele encontrou Pedro o Grande pela última vez em 1716. A partir de então ele sofria muito de gota e ficou confinado ao leito. Leibniz falece em Hanôver em 14 de novembro de 1716, relativamente esquecido e isolado dos assuntos públicos. Um projeto seu que não teve sucesso foi o de união das igrejas cristãs, de unir novamente as duas profissões de fé.

 

 

  • Brook  Taylor (1685-1731)

 

 

 

 

 

Nascido em Edmonton, Middlesex, Inglaterra, a 18 de Agosto de 1685 e falecido em Londres, Inglaterra a 29 de Dezembro de 1731. Brook Taylor era filho de John Taylor da Casa de Bifrons e de Olivia, filha de Nicholas Tempest. Sua família era moderadamente rica e estava ligada à baixa nobreza. Seu avô, Nathaniel, tinha apoiado Oliver Cromwell.      John Taylor era um pai severo e rigoroso, o expulsou de casa em 1721 quando Taylor decidiu se casar com uma mulher que, embora pertencesse a uma boa família, não era muito rica. Em 1723 Brook voltou à sua casa após a morte de sua esposa durante o parto. Ele se casou novamente em 1725, desta vez com a aprovação e benção de seu pai, mas infelizmente sua segunda mulher também morreu durante o parto em 1730. Sua filha, entretanto, conseguiu sobreviver.

A vida pessoal de Taylor parece ter influenciado seu trabalho em diversas formas. Duas das suas maiores contribuições científicas lidam com vibrações e desenho em perspectiva. Seu pai era muito interessado em música e artes, sua casa estava sempre cheia de artistas. Os arquivos da família contém pinturas de Taylor e também um manuscrito não publicado chamado On Musick foi encontrado entre seus papéis no Saint John's College em Cambridge.

Taylor teve aulas particulares em casa antes de entrar para o Saint John's College em 1701, onde os catedráticos em matemática eram John Machin e John Keill. Taylor recebeu seu diploma de Bacharelado em 1709, foi eleito para a Royal Society de Londres em 1712 e recebeu o diploma de Doutorado em 1714. Ele foi eleito secretário da Royal Society em janeiro de 1714, mas se demitiu em outubro de 1718 em virtude de sua saúde e talvez também pela perda de interesse nesta tarefa cansativa e extenuante.

Enquanto que em 1717 Brook Taylor aplicara o cálculo das diferenças finitas aos movimentos das cordas vibratórias, MacLaurin, em 1731, utilizou as demonstrações geométricas para dar maior rigor à sua teoria, segundo a qual uma massa líqüida girando em torno de um eixo sob a influência da gravitação toma a forma de um elipsóide de revolução. Taylor e MacLaurin chamavam então a atenção dos seus compatriotas para a geometria, levando-os a desprezarem a análise.

Sendo membro da Royal Society, Taylor participou, em 1712, do comitê formado para o julgamento da questão da prioridade na invenção do Cálculo entre Newton e Leibniz. Ele visitou a França diversas vezes por razões de saúde e sociais. Durante estas visitas ele manteve uma constante correspondência com Pierre Rèmond de Montmort sobre as séries infinitas e sobre o trabalho de Montmort em probabilidade. Taylor serviu como um tipo de intermediário entre Montmort e Abraham De Moivre.

Taylor publicou o seu primeiro artigo importante na Philosophical Transactions da Royal Society em 1714, que, a verdade, já havia sido escrito em 1708 de acordo com sua correspondência com Keill. O artigo tratava da determinação do centro de oscilação de um corpo. Como era costume de Taylor e de outros matemáticos da época, ele utilizou a notação de pontos ao resolver um problema em mecânica, dando início a uma disputa com Johann I Bernoulli.

O período entre 1714 e 1719 foi, para Taylor, o mais produtivo matematicamente. A primeira edição de seus dois livros matemáticos “Methodus incrementorum directa et inversa” e “Linear Perspective” saiu em 1715. Suas segundas edições foram publicadas em 1717 e 1719 respectivamente. Taylor também publicou treze artigos, alguns como cartas na Philosophical Transactions durante os anos de 1712 a 1724. Nestes artigos estão incluídos experimentos com a capilaridade, o magnetismo e o termômetro. Durante os últimos anos de sua vida Taylor se voltou para escritos religiosos e filosóficos. Seu terceiro livro Comtemplatio philosophica foi impresso postumamente pelo seu neto em 1793.

Taylor é conhecido pelo teorema ou processo de se expandir funções em séries infinitas. Existe uma grande discussão sobre o crédito que deve ser dado a Taylor pela formulação deste teorema.

Seu primeiro relatório do teorema foi escrito em uma carta para John Machin no dia 26 de julho de 1712 e reescrito por H. Bateman. Nele Taylor conta que a sua descoberta surgiu após uma "dica" de Machin durante uma palestra no Child's Coffeehouse sobre a "utilização da série de Sir Isaac Newton para a resolução do problema de Kepler" e sobre o "método do Dr. Halley para se achar as raízes" de equações polinomiais que fora publicado na Philosophical Transactions em 1694.

Isto demonstra sua honestidade e cuidado em relação à publicação de artigos matemáticos. Ele usou sua fórmula para expandir funções em séries e para resolver equações diferenciais, mas não conseguiu prever o seu papel, sua função mais importante, que só foi descoberto mais tarde por Lagrange. Taylor não se preocupou com a falta de rigor em sua derivação. Colin Maclaurin notou um caso especial da série de Taylor agora conhecido como série ou teorema da Maclaurin, que já havia sido citado por Taylor na página 27 na edição de 1717 do Methodus . O termo "série de Taylor" foi provavelmente utilizado pela primeira vez por L'Huillier em 1786, entretanto Condorcet usou os nomes de Taylor e d'Alembert em 1784.

Mesmo que as séries infinitas já fossem algo conhecido, Taylor desenvolveu a sua fórmula sozinho e foi o primeiro a enunciá-la e explicitá-la de uma forma geral. Pringsheim demonstrou que é possível se chegar ao teorema de Taylor através da fórmula de Bernoulli por meio de algumas mudanças de variáveis. No entanto não existem indícios que Taylor fez isso e nem de que Bernoulli se sentira "plagiado". A preposição XI do teorema IV, por outro lado, é diretamente equivalente à fórmula de integração de Bernoulli. Mas a derivação de Taylor é mais complexa, tanto que lhe é dado o crédito da prioridade do processo de integração por partes.

Taylor foi um dos poucos matemáticos ingleses que conseguiu se manter na disputa com seus rivais do "Continente", embora nem sempre conseguisse se sair vitorioso. Bernoulli citou que um problema de integração publicado por Taylor como um desafio aos "matemáticos não ingleses" já havia sido proposto e resolvido anteriormente por Leibniz em Acta eruditurium. Suas disputas em jornais quase sempre continham frases mais rudes e até mesmo, uma vez, foi feita uma aposta entre eles no valor de cinqüenta guinéus. Quando Bernoulli sugeriu, numa carta pessoal, que suas discussões tomassem um rumo mais "cavalheiresco", Taylor respondeu que ele tinha tido a intenção de ser grosseiro e mostrar indignação.

Newton abordava o problema da curvatura pelo meio da determinação do seu centro como o ponto de intersecção entre duas normais. Mesmo que este método não fosse publicado até 1736, Taylor tinha conhecimento deste trabalho de Newton, e, após aplicar a sua própria fórmula para a resolução do mesmo problema, disse que seus resultados coincidiam com os obtidos por Newton. Taylor, entretanto, imaginava o raio de curvatura como sendo o raio do círculo limitante entre três pontos de uma curva e associava a curvatura com o problema do ângulo de contato, citado por Euclides. Ele então usou a curvatura e o ângulo de curvatura para dar a primeira solução para vibrações normais e o caso de molas. Nas preposições XXII e XXIII ele demonstrou que sob suas condições cada ponto vibra como um pêndulo cicloidal, e determinou o seu período em termos do comprimento e peso da mola e do peso suportado pela mola. Seus trabalhos influenciaram outros matemáticos, Bernoulli, por exemplo, citou Taylor em cartas escritas para seu filho Daniel, escrevendo sobre este tópico.

Methodus qualifica Taylor como um dos fundadores do cálculo de diferenças finitas e como um dos primeiros a utilizá-lo em interpolação e somatória de séries.

Taylor contribuiu para a história do barômetro ao explicar a variação da pressão atmosférica como uma função da altitude e também contribuiu para o estudo da refração da luz.

Como todas as suas publicações, seu livro sobre perspectiva linear era tão conciso que Bernoulli caracterizou-o como "incompreensível para todos e inteligível para os artistas, para quem ele foi especialmente escrito". Até mesmo a sua segunda edição, que continha quase o dobro das quarenta e duas páginas da edição inicial, não mostrava uma melhora neste aspecto.

Methodus teve quatro edições normais, três traduções e outras vinte e duas edições de doze diferentes autores que continham comentários adicionais sobre seus conceitos mais importantes. Ele desenvolveu uma teoria sobre perspectiva de maneira formal, usando uma seqüência de teoremas e as suas respectivas demonstrações. A sua mais notável e impressionante idéia nesta área foi à definição de pontos e linhas de fuga para todos os planos e linhas e o desenvolvimento de uma teoria e prática para o problema inverso de perspectiva que, mais tarde, serviu de base para o trabalho de Lambert e o desenvolvimento da fotogrametria. Taylor também se utilizou da idéia de associar pontos de intersecção infinitamente distantes com linhas paralelas e procurou métodos para se realizar construções geométricas diretamente em perspectiva.

Um estudo mais detalhado e profundo sobre a vida e o trabalho de Brook Taylor revela que a sua contribuição para o desenvolvimento da matemática foi substancialmente maior do que a simples ligação do seu nome a um teorema. Seu trabalho era conciso, difícil de ser seguido e estudado. O surpreendente número de conceitos importantes que ele citou e tentou desenvolver, mas infelizmente não pode finalizar, mostra que a saúde, problemas e preocupações familiares, e outros fatores como riqueza e repressão dos pais, conseguiram restringir o período produtivo de sua relativamente curta vida.

 

 

 

 

·        Colin Maclaurin (1698 -1746) não contém foto!

 

 

 

Colin Maclaurin nasceu em fevereiro de 1698 em Kilmodan, Escócia, e morreu no dia 14 de junho de 1746 em Edinburgh, Escócia. Nasceu em Kilmodan onde o seu pai era o ministro da paróquia. Ele foi um estudante em Glasgow, se tornou professor de matemática na Faculdade de Marischal, Aberdeen, de 1717 a 1725 e então na Universidade de Edinburgh de 1725 até 1745.  Ele fez um trabalho notável em geometria, particularmente estudando curvas planas. Ele escreveu uma memória importante na chamada teoria das marés. Maclaurin foi eleito um membro da Sociedade Real em 1719 e em 1724 foi premiado pela Academia de Ciências pelo seu trabalho no impacto de corpos. Em 1740 ele foi premiado com outro prêmio da Academia de Ciências pelo estudo das marés. Este prêmio foi dado juntamente a Maclaurin, Euler e Daniel Bernoulli. O primeiro trabalho importante de Maclaurin foi a Geométrica Orgânica... Publicado em 1720. Em 1742 publicou o seu Tratado de dois volumes, a primeira exposição sistemática dos métodos de Newton escrita como uma resposta ao ataque de Berkeley no cálculo para sua falta de fundamentos rigorosos.  Esse Tratado é um trabalho principal 763 páginas, muito louvado por aqueles que o leram, mas surpreendentemente de pequena influência Maclaurin apelou aos métodos geométricos dos gregos antigos e para método de Arquimedes da exaustão. No seu Tratado, Maclaurin usa o caso especial da série de Taylor, nomeada agora depois dele (reconhecendo Taylor). Maclaurin também deu o teste integral para a convergência de uma série infinita. Ele investiga em seu Tratado a atração mútua de dois elipsóides de revolução como uma aplicação dos métodos. Maclaurin representou um papel ativo na defesa de Edinburgh durante a rebelião de Jacobite em 1745. Quando a cidade caiu Maclaurin fugiu para York e ele morreu no ano seguinte em Edinburgh. O Tratado de Maclaurin em álgebra foi publicado em 1748, dois anos depois da sua morte. Outro trabalho informando das descobertas do Sr. Isaac Newton permaneceu incompleto na sua morte, mas foi publicado mais tarde.

 

 

  • Leonhard Euler (1707-1783)

 

 

 

Leonhard Euler um suíço que nasceu na Basiléia em 1707, onde seu pai era ministro religioso e possuía alguns conhecimentos matemáticos.

Euler foi aluno de Jean Bernoulli e amigo de seus filhos Nicolaus e Daniel, recebendo ampla instrução em Teologia, Medicina, Astronomia, Física, Línguas orientais e Matemática. Com o auxílio de Bernoulli entrou para a Academia de S. Petersburgo, fundada por Catarina I, ocupando um lugar na seção de Medicina e Fisiologia, e em 1730 passando a seção de Filosofia por ocasião da morte de Nicolaus e afastamento de Daniel.

Tornando-se o príncipe matemático já aos vinte e seis anos, dedicou-se profundamente à pesquisa compondo uma quantidade inigualável de artigos, inclusive para a revista da Academia. Em 1735 perdeu a visão do olho direito mas suas pesquisas continuaram intensas chegando a escrever até mesmo enquanto brincava com seus filhos. Conquistou reputação internacional e recebeu menção honrosa na Academia das Ciências de Paris bem como vários prêmios em concursos. Convidado por Frederico, o Grande, Euler passou 25 anos na Academia de Berlim, voltando á Rússia em 1786. Euler ocupou-se de quase todos os ramos da matemática Pura e Aplicada sendo o maior responsável pela linguagem e notações que usamos hoje; foi o primeiro a empregar a letra como base do sistema de logaritmos naturais, a letra grega  para razão entre comprimento e diâmetro da circunferência e o símbolo para a unidade imaginária, . Deve-se a ele também o uso de letras minúsculas designando lados do triângulo e maiúsculas para seus ângulos opostos; simbolizou logaritmo de x por log(x), usou a para indicar adição e f(x) para função de x, além de outras notações em Geometria, Álgebra, Trigonometria e análise. Euler reuniu Cálculo Diferencial e Método dos Fluxos num só ramo mais geral da Matemática que é a Análise, o estudo dos processos infinitos, surgindo assim sua principal obra, em 1748, a "Introdução à Análise Infinita", baseando-se fundamentalmente em funções, tanto algébricas como transcendentes elementares (trigonométricas, Logarítmicas, trigonométricas inversas e exponenciais). Foi o primeiro a tratar dos logaritmos como expoentes e com idéia correta sobre logaritmo de números negativos. Muito interessado no estudo de séries infinitas. Obteve notáveis resultados que o levaram a relacionar Análise com Teoria dos Números, e para a Geometria, Euler dedicou um Apêndice de "Introdução'' onde dá a representação da Geometria Analítica no espaço.         Euler escreveu em todos os níveis, em várias línguas, publicando mais de 500 livros e artigos. Os dezessete últimos anos de sua vida passou em total cegueira mas o fluxo de suas pesquisas e publicações não diminuiu, escrevendo com giz em grandes quadros-negros ou ditando para seus filhos. Manteve sua mente poderosa até os 76 anos quando morreu subitamente em 1783. Euler foi descrito pelos matemáticos da época como sendo a própria "Análise encarnada".

 

 

 

  • François Viète (1540 - 1603)

 

 

François Viète nasceu em Fontenay-le-Comte, na França. Estudou na escola de Fontenay, antes de entrar para o curso de advocacia na Universidade de Poitiers. Formou-se em 1560, época de grande agitação política e religiosa na França. Em 24 de outubro de 1573, Charles IX, rei da França, indicou Viète para o parlamento da Bretanha. Em 1580, seu sucessor, Henrique III, nomeou-o membro do conselho do rei, de maneira que Viète serviu ao reino da França por um bom tempo. Embora nunca tenha trabalhado como cientista ou matemático profissional, sempre esteve envolvido em estudos matemáticos ou astronômicos. Seu primeiro trabalho publicado o foi em Paris, no ano de 1571. Viète trabalhou com trigonometria, álgebra e geometria. Em Canon Mathematicus seu ad triangula cum appendicibus, de 1579, desenvolveu métodos para determinar triângulos planos e esféricos utilizando as seis funções trigonométricas, dando sua contribuição à trigonometria.  Sua obra mais famosa é, de 1591. Nela, apresenta um simbolismo algébrico de usar vogais para representar incógnitas e consoantes para representar constantes. A utilização das últimas letras do alfabeto para as incógnitas e das primeiras para as constantes foi introduzida posteriormente por Descartes. Antes de Viète era comum se usarem letras ou símbolos diferentes para as várias potências de uma quantidade. Viète usava a mesma letra devidamente qualificada, por exemplo, expressava A, A quadratum, A cubum, para indicar A, A2, A3. Ao aplicar álgebra à trigonometria e à geometria em Supplementum geometriae , de1593, deu sua contribuição aos três problemas clássicos da matemática grega, mostrando que, tanto a trissecção do ângulo como a duplicação do cubo dependem da resolução de uma cúbica; mostrou ainda como construir a tangente em qualquer ponto da espiral de Arquimedes.Apresentou um processo de aproximações sucessivas para resolver equações de segundo, terceiro e quarto grau em sua obra De numerosa potestatum resolutione, de 1600. François Viète morreu no dia 13 de dezembro em Paris.

 

 

UPF - UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO - NOVEMBRO DE 2005.

 

 

 

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NA

M  E  S  O  P  O  T    M  I  A

 

MÁRCIO LUÍS FREIRE

 

 

 

INTRODUÇÃO

A Matemática como a concebemos nos dias atuais foi fruto de uma demorada e profícua evolução, desde os homens das cavernas, passando por todas as grandes civilizações do passado até chegar na complexidade do mundo mercantilista e globalizado atual. A finalidade desse trabalho é mostrar, em forma de evidenciação, que a matemática desenvolvida pelos povos da Mesopotâmia entre os anos de 2800 a 1880 a.C. dão suportes lógicos e consistentes aos anseios de todas as culturas posteriores, demonstrando, assim, sua grande relevância histórica.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ASPECTOS GEOGRÁFICOS E SOCIOLÓGICOS DA MESOPOTÂMIA

 

Geograficamente a Mesopotâmia está situada entre os rios Tigre e Eufrates no Oriente Médio, no chamado crescente fértil, onde atualmente se localiza o Iraque e a Síria. Em grego, a palavra Mesopotâmia significa entre rios. Os povos que formavam a Mesopotâmia foram os Sumérios, Acádios, Amoritas, Caldeus e Hititas, os quais lutavam pela posse das terras aráveis.. Porém ao contrário do que ocorria com as águas do rio Nilo, os períodos de cheia dos rios Tigre e Eufrates eram bastante irregulares, obrigando a realização de numerosas obras de irrigação e drenagem, com períodos de observação e desenvolvimento com uma maior dificuldade.. As civilizações que habitam essa região prosperaram com base na agricultura. Desenvolveram-se nos vales dos rios Tigre e Eufrates devido, à fertilidade da terra decorrente das inundações destes.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O centro, correspondendo ao curso médio dos rios, era chamado de Acádia, sobressaindo as cidades de Babilônia, Uruc, Nipur, Sipar e Acad. O norte era denominado Assíria, destacando-se as cidades de Nínive, Nimrud e Assur.

Por volta de 3 500 a.C., vindos provavelmente da Ásia Central, os sumérios fixaram-se na Baixa Mesopotâmia, fundindo-se étnica e culturalmente com a população local. Com a sua chegada, deu-se o aperfeiçoamento dos métodos de cultivo e de irrigação. A agricultura, além de abastecer regularmente a população, passou a gerar excedentes para o comércio. Desenvolveram-se o artesanato especializado, o uso de metais e surgiram inovações técnicas como a roda.

A população expandiu-se, dando origem a novos grupos sociais como sacerdotes, funcionários, mercadores, artesãos e soldados. Assim, as aldeias transformaram-se em cidades, como Ur, Uruk, Lagash, com governo próprio e profissões variadas. Estabeleceu-se ativo comércio entre as cidades de Suméria e seus vizinhos. Caravanas de mercadores levavam cargas de cevada e tecidos para a Ásia Menor e para o Irã, retornando com madeira, pedra e metais, que eram transformados em instrumentos, armas e jóias.

A revolução urbana fez surgir na Suméria e posteriormente em Acade, cerca de 15 ou 20 cidades-Estado politicamente independentes, mas com língua, religião, organização social e sistema econômico semelhantes.

Para desenvolver a agricultura, os habitantes desses vales inventaram sistemas de canalização e de diques para controlar a direção da água durante as enchentes. Estes sistemas também controlavam a drenagem das águas de volta aos rios. Os sumérios, babilônicos e os acádios formaram os principais ocupantes desta região entre os anos 2800 a.C. e 1800 a.C. Foi neste período que surgiram os primeiros centros urbanos da humanidade, com uma vida de ostentação da riqueza, complexa e variada, em que a lealdade política não era mais em relação a tribos ou clãs, mas sim ao rei que governava. As principais cidades dessa época foram:Ur, Uruk, Eridu, Nipur e Zagash. Essas cidades eram governadas pelos patesis, que representavam ao mesmo tempo a figura do chefe militar e sacerdote. Desenvolveu-se uma sociedade baseada em atividades agrícolas, pastoris, comerciais e artesanais. A formação de castas, organizada em forma piramidal foi inevitável.

O posicionamento social do individuo, geralmente, era determinado pelo critério de nascimento e hereditariedade. Sua estrutura era dividida em camadas sendo a base da pirâmide composta pelos escravos, um número significativo e constituído principalmente por prisioneiros de guerra e homens livres pobres que se vendiam para sobreviver. Acima dos escravos, existiam os artesãos e os camponeses, que pertenciam às classes de homens livres, mas não recebiam o suficiente pelo trabalho que realizavam. E no topo da hierarquia social estava o rei, que possuía riquezas fabulosas, palácios grandiosos e vários funcionários que auxiliavam na administração do império. Administração essa que se caracterizava pelo domínio de todos os grupos sociais em um governo de fundamento teocrático.  O centro de cada cidade da Mesopotâmia era dominado pelo “temenos”, conjunto de templos, destacando-se o “zigurat” ou torre de degraus com um pequeno santuário no alto da elevação.
O templo era dedicado ao culto e às oferendas, como mostra a figura abaixo.

 

 

 

 

 

 

Indiscutivelmente, a principal contribuição que os mesopotâmicos realizaram para o desenvolvimento do conhecimento foi à invenção de um tipo de escrita, a qual era feita por estiletes em uma placa de argila mole que depois secavam ao sol. Tais letras tinham a forma de cunha e, por isso, foram chamadas de cuneiforme. Eram monopolizadas pelos sacerdotes que tinham como uma de suas funções registrar as atividades comerciais. Os sacerdotes dos templos religiosos, através de seu vasto sistema tributário, coletavam e administravam gigantescas somas de bens, tais como terrenos, incluindo rebanhos, manadas, rendas e propriedades rurais. Entretanto, por causa da amplitude e variedade da riqueza acumulada, os sacerdotes enfrentaram problemas sem precedentes na história humana.

 

 

Para essa prestação de contas como intendentes, não era possível confiar na memória a respeito dos tributos pagos, transações concluídas, sendo necessária uma forma de registro permanente. O surgimento da escrita justificou-se pelo crescimento das economias centralizadas, quando os funcionários dos palácios e templos sentiram a necessidade de manter o controle das quantidades de cereais e dos rebanhos de carneiros e gado que entravam e saíam dos celeiros e fazendas. Era impossível depender apenas da memória de um homem para armazenar todas as transações realizadas, além da necessidade de se transmitir os fatos a outros sacerdotes quando houvesse o falecimento de quem controlava essas operações, assim, tornou-se indispensável à criação de novos métodos que mantivessem registros confiáveis e permanentes.

 

COMÉRCIO E ECONOMIA NA MESOPOTÂMIA

Os mesopotâmicos possuíam uma economia bastante desenvolvida, com métodos de intercâmbio comercial que incluíam o uso de uma moeda metálica e já dispunham de uma rede bancária primitiva. Baseada na agricultura, principalmente no cultivo da cevada, produzia também outros produtos como o óleo de linhaça e de gergelim, linho, trigo e hortigranjeiros. A cevada muitas vezes era usada como meio de pagamento de salários e em rações diárias, sendo matéria-prima para a fabricação da bebida natural: a cerveja. Os rebanhos de ovelhas e cabras pastavam nos campos fora da estação de plantio e o gado quando havia água suficiente. A produção da lã era extensa e convertida em peças de tecidos. Santos (2001) nos afirma que:

Os sumérios eram excelentes agricultores, eram peritos em irrigação; sendo favorecidos pelos rios Tigre e Eufrates. Eram bons comerciantes. A economia do país se fundamenta na lavoura e no comércio. Desenvolveram-se intensas relações comerciais com os países próximos. Trocavam-se metais, madeiras, produtos agrícolas e manufaturados. Usavam-se recibos, faturas, títulos de créditos, notas promissórias. Circulavam como dinheiro, barras de ouro ou prata. A unidade monetária padrão de troca era um ciclo de prata. O comércio era ativo e empregava muita gente.

Outra atividade econômica era a pesca, utilizando-se de pequenos barcos de junco, anzol e rede os sumérios pescavam no Golfo Pérsico, nos rios, canais e pântanos. O artesanato foi um dos responsáveis pelo grande impulso dado ao comércio. Os artesãos eram muito habilidosos e fabricavam móveis de madeira; vasilhas de argila, de pedra, de madeira e de vidro; objetos de metal, de couro (sandálias, roupas, equipamentos militares), bijuterias e tijolos (secos ao sol ou cozidos em forno). As lãs retiradas das ovelhas eram utilizadas para confecção de tecido. As famílias ou oficinas têxteis, constituídas pelos homens livres, eram os realizadores do trabalho artesanal.

Segundo texto publicado no site Vbcontrol (2003) “há duas formas básicas para se obter os materiais que países necessitam: pela guerra ou comércio. Tais materiais são geralmente exigidos como tributos ou tomados por pilhagem após uma expedição militar”.

 

A região mesopotâmia carecia de recursos minerais e de madeira, indispensáveis para a construção de grandes monumentos, além de resistentes. Ao longo da história, os mesopotâmicos tiveram cada vez mais necessidade destes materiais, que vinham de longe: ou das florestas do Líbano ou das montanhas do Irã (atualmente). Essas montanhas também eram ricas em minerais, pedras e metais. Por este motivo, o comércio começava a ser executado com todas as regiões vizinhas. De acordo com Cruz e Silva (2002) devido ao incremento na atividade mercantil, bem como ao aumento de mercadorias em circulação, o sistema de tábuas contábeis tornou-se complexo. Segundo Iudícibus (1997) “a preocupação com as propriedades e a riqueza é uma constante no homem da Antigüidade,[...] e o homem teve de ir aperfeiçoando seu instrumento de avaliação patrimonial à medida que as atividades foram desenvolvendo-se em dimensão e em complexidade”. A situação geográfica da Mesopotâmia, na rota do comércio entre Oriente e Ocidente, estimulou as atividades comerciais, tornando necessários rudimentos de aritmética aplicada, tais como sistemas de contabilidade, noção de juros, etc. Em meados do terceiro milênio os comerciantes da Suméria já empregavam um sistema de pesos e medidas, fazendo uso de juros simples e compostos.

 

APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA E DA GEOMETRIA MESOPOTÂMICA

Os Babilônicos (assim também eram chamados os povos mesopotâmicos) tinham uma maior habilidade e facilidade para efetuar cálculos, talvez em virtude de sua linguagem ser mais acessível que a egípcia. Eles tinham técnicas para equações quadráticas e bi-quadráticas, além de possuírem fórmulas para áreas de figuras retilíneas simples e fórmulas para o cálculo do volume de sólidos simples. Sua geometria tinha suporte algébrico. Também conheciam as relações entre os lados de um triângulo retângulo e trigonometria básica, conforme descrito na tábua “Plimpton 322”.

Os mesopotâmicos foram os inventores da álgebra, do sistema posicional, desenvolveram os cálculos de divisão e multiplicação, incluindo a criação da raiz quadrada e da raiz cúbica. E utilizando símbolos para unidades e dezenas, podiam representar qualquer número. Os símbolos utilizados por este povo para representar os números eram: v que correspondia a 1 (um) e o < que correspondia ao 10 (dez). O sistema numérico adotado pelos sumérios é uma combinação do sistema decimal e do sistema sexagesimal. Assim tem-se:

v

vv

vvv

vv

vvv

vvv

<< 

<<< 

<<< 

<< 

<<< 

vvv

 

 

 

vv

vv

vvv

 

 

 

vvv

<< 

<< 

vvv

 

 

 

 

 

vvv

 

 

 

vvv

 

 

vvv

1

2

3

4

5

9

10

20

30

36

40

59

 

 

 

 

Os babilônios usavam um sistema posicional que, em alguns aspectos era semelhante ao dos egípcios. Algumas inscrições mostram que, surpreendentemente, eles usavam não somente um sistema decimal mas também um sistema sexagesimal  (isto é, base 60) , o qual trazia enormes facilidades para os cálculos, visto que os divisores naturais de 60 são 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60, facilitando o cálculo com frações.

Usavam um traço vertical para representar as unidades e outro desenho para as dezenas:

 

No sistema decimal, os números de 1 a 99 eram representados por agrupamentos destes símbolos, por exemplo,

 

O símbolo para 100 era composto por traços:

 

e números superiores a 100, representados novamente por agrupamento. Assim, por exemplo, temos:

 

 

O símbolo indica 10 vezes 100, isto é, 1000.

 

 

 

Também empregava, em algumas tabuletas, o sistema sexagesimal. Os números de 1 a 59 eram representados novamente por agrupamento simples e a partir dali, se escreviam "grupos de cunhas", com base 60. Por exemplo,

 

 

 

Os babilônios chegaram a empregar um símbolo, formado por duas cunhas inclinadas, para representar a ausência de um grupo. Por exemplo,

 

 

Como este símbolo não era de uso freqüente, e ainda, nunca foi usado no fim de uma expressão, o sistema babilônio apresentava ambigüidades. Por exemplo,

 

 

poderia representar o número , etc.

Nosso sistema de numeração indo-arábico é um sistema de numeração posicional de base 10. Ele é preciso e não apresenta ambigüidades, justamente porque temos o símbolo 0 (zero) para representar ausência de uma casa.

A base de numeração 10 é o sistema usado quase que universalmente pelo fato de termos dez dedos disponíveis nas mãos para nos auxiliar nos cálculos.

Cidade da informática (2001) nos traz o seguinte texto:

A astronomia e as matemáticas começaram a buscar essas respostas, e a criar aparatos que lhes serviam como para ordenar o mundo e os ciclos que a natureza dispõe. Os primeiors calendarios usados pelos babilonicos mediam os meses de acordo com as fases lunares e os anos, conforme a posição do sol. Pelo testemunho que perdura nas tabuas de argila que tem chegado até nós, hoje sabemos que por volta do ano de 1950 a.c, o povo babilônico adotou a base 60 para medir o tempo, ou seja, uma hora é igual a 60 minutos. Mas para que isso pudesse acontecer deveriam contar no solo com sistemas de numeração, e também com signos que representava quantidades.

Ou seja, o sistema sexagesimal teve sua origem na astronomia, especificamente, na contagem do tempo, ou melhor na divisão do tempo em horas, minutos e segundos. No qual 1 (uma) hora equivale a 60 minutos.

Estes números eram escritos mediante a pressão da extremidade mais larga ou menor de um cálamo de junco sobre a argila ou verticalmente (para desenhar um círculo) ou obliquamente. Com o passar do tempo esses números passaram a apresentar uma forma angular.

Exemplificando o sistema numérico utilizado pelos sumérios, tem-se:

1º) << << = 20 x 60 + 20 = 1.220

2º) vv vv <v = 2 x 602 + 2 x 60 + 11 = 7.331

Observa-se que os mesopotâmicos começaram a calcular da direita para esquerda, ou seja, o primeiro grupo de símbolos representam as unidades, o segundo grupo representa as dezenas, depois seriam as centenas e assim por diante. Um outro fato curioso é que, retirando o grupo das unidades, os demais grupos são multiplicados pelo fator 60, onde as dezenas apenas por 60, as centenas por 60 ao quadrado, e assim continuaria, aumentando-se as casas aumentam-se os expoentes. Este tipo de cálculo deixa bem claro que os sumérios já conheciam e utilizavam as potências quadradas e cúbicas.

. Os sumérios utilizaram a formula:

 

para utilizar a multiplicação. A divisão se assimila a multiplicação a seguir:

 

 

Algumas tábuas mostram que os mesopotâmicos chegaram a resolver equações do 2. º e 3. º graus, usando palavras como incógnitas num sentido abstrato e conheciam bem o processo de fatoração. Não só resolviam as equações quadráticas, seja pelo método equivalente ao da substituição numa fórmula geral, seja pelo método de completar quadrados, como também discutiam algumas cúbicas e algumas biquadradas.

Acredita-se que os povos mesopotâmicos dominavam também as fórmulas de progressões geométricas. Seus desenvolvimentos podem ser constatados em tabuletas que indicavam relações entre os lados de um triângulo. Porém, essas tabuletas mostram apenas as questões e os resultados.

As implantações dos sistemas de irrigação desenvolvidos exigiam, para a execução do trabalho, alguma forma primitiva de engenharia e agrimensura, atividades que pressupõem a aplicação de certos conhecimentos geométricos, tais como mediadas de áreas, linhas de nível, etc.

Da matemática mesopotâmica constata-se também a familiarização com as regras gerais de cálculo da área do retângulo, do triângulo retângulo e isóscele, de um trapézio retângulo e, do volume de um paralelepípedo e mais, geralmente do volume de um prisma reto de base trapezional.

Tinham também uma fórmula para calcular o perímetro da circunferência a que equivale. Conheciam o volume de um tronco de cone e de um tronco de pirâmide quadrangular regular. Sabiam que os lados correspondentes de dois triângulos retângulos semelhantes são proporcionais. Utilizavam-se de uma ‘corda com 13 nós’ de forma a que o espaço entre eles fosse igual, isto é, a corda media 12 unidades, sendo cada unidade o espaço entre dois nós consecutivos, para construir um triângulo retângulo, mas não sabiam expressar teoricamente esse conhecimento.

Essa técnica foi divulgada por Pitágoras, em 560 a.C. após ter realizado várias viagens à Mesopotâmia, cujo saber havia fascinado Tales, onde estudou geometria com sacerdotes, vindo a ter contato com o método da ‘corda de 13 nós’. Com base nesta técnica desenvolveu o que hoje conhecemos como Teorema de Pitágoras ‘num triângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos’. Pitágoras não só se satisfez com a generalização da propriedade a que chegou, como também se preocupou com a sua demonstração, ou seja, em provar que essa regra se aplicava a todos os triângulos retângulos.

 

Somente em 1637 d.C. foi provada a relação de posicionamento utilizado pelos sumérios nas construções de seus templos, palácios e monumentos arquitetônicos. Tal feito foi realizado por Descartes. Ele criou uma fórmula algébrica para representar um fato trivial e infantil já conhecido por todos; de que um ponto em uma folha de papel retangular está infalivelmente, como é evidente, onde as duas linhas de suas duas distâncias medidas perpendiculares a duas margens adjacentes da folha, se encontram. Em linguagem geométrica, isto quer dizer que um ponto em um plano pode ser representado pelos valores (hoje chamado coordenadas cartesianas) das suas duas distâncias (x, y), tomadas perpendiculares a dois eixos que se cruzam em ângulo reto nesse plano, como a convenção de lado positiva e negativa para um e outro lado do ponto de cruzamento dos eixos.

O APARECIMENTO DE

 

Uma das características mais relevantes da matemática suméria era o uso do sistema de numeração posicional. Isto possibilitava o cálculo do valor numérico de grandezas geométricas com uma precisão admirável para a época. Um exemplo notável pode ser visto em um tablete sumeriano da Yale Babylonian Collection, catalogado sob a sigla YBC7289.

Tablete sumério YBC7289, da Yale Babylonian Collection.

 

 

Nele vemos representado um quadrado, suas duas diagonais e três números:

a=30

b=1,24,51,10

c=42,25,35

escritos no sistema sexagesimal sumeriano. Nessa notação os algarismos do sistema sexagesimal são indicados por 0, 1, 2,..., 9, 10, 11, 12,...,59, e a vírgula separam as casas.

 

Desenho esquemático do tablete sumério YBC7289, mostrando um quadrado, suas duas diagonais, e três números sexagesimais, um sendo o valor do lado do quadrado, outro uma aproximação do valor de , e o terceiro uma aproximação do valor de sua diagonal.

Calculando na base sexagesimal temos

 

portanto .

Por outro lado, interpretando na figura acima como o valor da diagonal do quadrado de lado , temos, em virtude do Teorema de Pitágoras,

 

 

Assim, relacionando  e, vemos que deve ser uma aproximação de

Lembrando que os sumérios não tinham notação para separar a parte inteira da parte fracionária na representação escrita dos números, passamos a interpretar , e como:

a=(0;30) 60

 

b=(1;24,51,10)60

c=(0;42,25,35)60

Vemos que

 

que é próximo de 2.

Resulta a aproximação

 

No sistema decimal isso equivale a

 

 

 

Comparando com vemos que a aproximação calculada pelos sumérios tem erro . Este foi sem dúvida um cálculo notável.

 
 

PARTIDAS DOBRADAS E CONHECIMENTO MATEMÁTICO

A matemática sempre foi utilizada como um instrumento, através do qual se podia explicar os fenômenos naturais, ou seja, suas causas e conseqüências. Por exemplo, aplicando-se a dualidade dos fatos, pela matemática, obtêm-se na Astronomia a relação do tempo em horas-dia e horas-noite.

Os mesopotâmicos também representavam a natureza dos seres através da matemática, ou seja, os números pares eram considerados seres femininos e os ímpares, masculinos. Até mesmo na grafia estava presente a dualidades das coisas, o que se pode verificar claramente no símbolo utilizado para representar o infinito. Esse símbolo representa a união de dois círculos (4), onde um deles representa o mundo material e o outro o mundo imaterial, em outras palavras, o infinito significa graficamente a união dos dois mundos.

Os números também representam o bem e o mal. Representavam o bem, os números positivos, que significam a soma, o acréscimo; já os números negativos o mal, a exclusão, a subtração. Paralelamente a esse raciocínio desenvolveu-se o controle do patrimônio, o sentido do que me pertence e o que pertence à outra pessoa. Segundo Sá (2002) “o ‘meu’ e o ‘seu’ deram, na época, origem a registros especiais de ‘débito’ (o que alguém tem que me pagar) e ‘crédito’ (o que devo pagar a alguém)”, onde teríamos uma primeira versão do registro por Partidas Dobradas.

Uma outra aplicação da matemática pelos mesopotâmicos se refere às funções. Este povo conhecia o sentido amplo da palavra ‘relação’. Conforme Brito [s.d] diz-se que existe uma relação entre duas coisas quando existe um elo de ligação, uma correspondência, uma vinculação entre elas.

Usando a representação de conjuntos podemos visualizar estes exemplos mais facilmente. Dentro de cada conjunto podemos apresentar seus elementos (valores) e associá-los na relação. Como pode ser observado na figura 1.


Figura 1 Correlação entre conjuntos

Observe que do conjunto origem (A) partem os elos de ligação em direção ao conjunto destino (B).

Com esta noção de ‘relação’ em mente e, particularmente, evidenciando as situações acima ilustradas, podemos definir o que vem a ser uma função. A idéia de relação biunívoca de conjunto que predomina numa função entre origem e destino coaduna com a idéia das Partidas Dobradas de origem e aplicação de recursos.

A forma intuitiva do aprendizado das funções através da representação de conjuntos é trocada, na prática, pelo Sistema Cartesiano, no qual colocamos o domínio no eixo do x e o contradomínio (em que estarão as imagens) no eixo do y. Desta forma podemos visualizar melhor o par ordenado (x,y) e o comportamento das funções que se deseja estudar. Assim temos:


Figura 2 Sistema Cartesiano

Como já foi dito antes, os mesopotâmicos não deixaram registro desse conhecimento, mas já foi provado que não só conheciam, como os utilizavam para a edificação de suas construções monumentais.

 

CONTABILIDADE NA MESOPOTÂMIA

O par ordenado do eixo cartesiano (x,y) pode ser visto, também, como uma forma de registro em par, isto é, uma Partida Dobrada. A aplicação do conhecimento da relação matemática aos controles contábeis em um determinado fato é relatada por Schmidt (2000):

No ano de 1920, em Nuzi (norte da Babilônia), 49 fichas acompanhadas de uma tabela de pedra com inscrições cuneiformes listando um pequeno rebanho de carneiros, pertencente ao segundo milênio a.C., portanto, fora do período pré-histórico. Esses artefatos representam, aparentemente, a transferência desse pequeno rebanho – sete diferentes tipos de carneiros e cabras – realizada por Puhisenni, filho de Mapu, habitante da região, para o pastor de nome Ziquarru. A escavações revelam que as 49 fichas perfuradas representam a garantia de que o pastor havia recebido o rebanho e tinha uma dívida com o proprietário anterior. Cada animal do rebanho era representado por uma ficha mantida em um receptáculo. Sempre que algum animal era transferido para um pastor, ou para outra pastagem, ou mesma para tosquia, a forma de registro desse evento era a transferência da ficha correspondente ao animal para outra caixa. A explicação para esse duplo registro (a tabela de pedra e as fichas), segundo Schmandt-Besserat (1992), foi que a caixa de barro contendo as fichas era provavelmente destinada ao pastor (ou devedor), enquanto a tabela constituía o recibo de proprietário (ou credor). Mesmo já existindo a escrita cuneiforme, a maioria da população (como os pastores de 2000 a.C.) não a dominava e as fichas contábeis eram de fácil entendimento, já que cada ficha representava um animal.

Terá a seguinte representação gráfica da situação acima citada:


Figura 3 Representação utilizando o Conjunto

Logo, temos:

Matematicamente
f(venda) = (carneiro, Ziquarru)
f’(venda) = (cabra, Ziquarru)

Contabilmente
1o) Débito – Ziquarru (Cliente)
2o) Débito – Ziquarru (Cliente)
Crédito – Carneiro (Estoque)
Crédito – Cabra (Estoque)

Analisando os fatos, observa-se que há duas contabilidades paralelas, a do vendedor Puhisenni e a do comprador Ziquarru.

Isso ficou bem caracterizado quando Schmidt apontou a transferência desse pequeno rebanho – sete diferentes tipos de carneiros e cabras – realizada por Puhisenni para o pastor de nome Ziquarru. Essa transferência de propriedade foi registrada por 49 fichas acompanhadas de uma tabela de pedra com inscrições cuneiformes listando um pequeno rebanho de carneiros. Em ambas as análises predominam a idéia do registro contábil por Partidas Dobradas e não por Partidas Simples.

A contabilidade realizada por Puhisenni revela-nos que houve um registro de saída de sete animais, ou seja, atualmente diríamos que foi creditada conta-estoque (animais) em sua contrapartida, por meio das 49 fichas perfuradas, que representam a garantia de que o pastor havia recebido o rebanho e tinha uma dívida com o proprietário anterior, ou seja, essa garantia equivale àquilo que atualmente conhecemos por duplicatas, notas promissórias, cheques pré-datados, ou qualquer outro instrumento que reconheça a dívida, e logicamente esse registro é feito no Ativo na conta cliente. O conhecimento de números positivos e negativos nessa operação está bem claro.

Observe que apesar de estarem registrados em livros distintos, o ato da venda dos animais teve sua contrapartida que foram os recibos do reconhecimento da dívida, como diz o texto “enquanto a tabela constituía o recibo de proprietário (ou credor)”. Graficamente, teríamos dois livros um de animais (estoque) e outro de garantia de compra (cliente a receber), a existência e registro em dois livros de forma simultânea permitem afirmar que tais registros são por Partidas Dobradas, como se mostra a seguir.

Registros contábeis realizados por Puhisenni

Livro1 – Animais (estoque)

Livro 2 – Garantia (cliente a receber)

Carneiro
Cabras

49 fichas que representam a garantia de que o pastor havia recebido o rebanho e tinha uma dívida com o ele.

O mesmo fato também é registrado pelo comprador, Ziquarru: “a explicação para esse duplo registro (a tabela de pedra e as fichas), segundo Schmandt-Besserat (1992), foi que a caixa de barro contendo as fichas era provavelmente destinada ao pastor (ou devedor)”. Onde ele debitaria estoque (animais) e creditaria fornecedor (pela emissão de 49 ficha dadas em garantia).

 

Registros contábeis realizados por Ziquarru

Livro 1 – Animais (estoque)

Livro 2 – Garantia (cliente a pagar)

Carneiro
Cabras

49 fichas que representam a garantia de que o pastor havia recebido o rebanho e tinha uma dívida com o Puhisenni.

Na seqüência do texto há a referência da transição de animais “cada animal do rebanho era representado por uma ficha mantida em um receptáculo. Sempre que algum animal era transferido para um pastor, ou para outra pastagem, ou mesmo para tosquia, a forma de registro desse evento era a transferência da ficha correspondente ao animal para outra caixa”. Isso demonstra a aplicação de todos os conhecimentos matemáticos, principalmente àqueles ligados às funções, visto que todos os fatos relacionados com o patrimônio eram registrados.

Conforme (1997) a “apuração de custos, revisões de contas, controles gerenciais de produtividade, orçamento, tudo isto já era praticado em registros feitos em pranchas de argila, nas civilizações da Suméria e da Babilônia (mesopotâmia)”. Só poderia ser realizado esse cálculo se os mesopotâmicos aplicassem os princípios matemáticos aqui relatados.

Um outro fato que concretiza a utilização de partidas dobradas pelos mesopotâmicos é que somente os sacerdotes poderiam fazer esse registro e controle. Um dos requisitos básicos para essa função era o conhecimento teórico e prático de aritmética e geometria. Seria um choque de conhecimentos e aplicações dos registros, se os sacerdotes utilizassem partidas simples, uma vez que a matemática sempre trabalhou com uma dualidade: causa e conseqüência. Por este motivo, é infundado falar que os registros contábeis realizados pelas civilizações da Mesopotâmia eram feitos sobre forma de partida simples, o fato de utilizarem livros distintos para os registro de controle não descaracteriza a aplicação da partida dobrada.

A genialidade dos mesopotâmicos e o seu desenvolvimento cultural criaram, também, ambientes intelectuais propícios ao grande progresso na escrita contábil. Há cerca de 2000 a.C. os sistemas de leis, alcançando o patrimônio, já exigiam controles e registros aprimorados, onde a matemática desempenhava um importante papel na concretude da vida cotidiana. Por suas construções monumentais constata-se claramente o alto grau de desenvolvimento da matemática pelos sumérios, a qual era também empregada em outras áreas do conhecimento, inclusive a contabilidade, exemplo abaixo.

 

Para se tornar um sacerdote contador, o indivíduo precisava ter conhecimento de notação aritmética e do seu uso prático. Um dos princípios básicos da matemática é a relação dos fenômenos, por isso seria insensato dizer que os sacerdotes não aplicavam esse conhecimento nos registros contábeis. Conseqüentemente, fica provado que esses registros eram feitos usando Partidas Dobradas, porém, em livros e formas distintas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CONCLUSÃO

 

Concluímos que a matemática, assim como as ciências de modo geral desenvolveram-se devido as necessidades que surgiam dia-dia. A matemática na Mesopotâmia surgiram como uma ciência prática, com o objetivo de facilitar o cálculo do calendário, a administração das colheitas, organização de obras públicas e a cobrança de impostos, bem como seus registros.

As águas dos rios Tigre e Eufrates proporcionavam facilidades para o transporte de mercadorias, o que ajudou a desenvolver um processo de navegação.

Foram desenvolvidos nestes rios grandes projetos de irrigação das terras cultiváveis e a construção de grandes diques de contenção, abrindo assim o caminho para o desenvolvimento de uma engenharia primitiva.

Procedeu-se ao desenvolvimento de uma astronomia rudimentar para o cálculo do período de cheias e vazantes dos rios, mesmo que estes períodos não fossem regulares como os do rio Nilo no Egito.

E também, pelo fato da Mesopotâmia estar situada no centro do mundo conhecido da época, o que propiciava muito contato com outros povos, ela teve um papel muito grande no desenvolvimento da matemática de um povo que teve um papel muito importante na história: o povo Grego. Graças a este contato com o povo Grego, muito desta matemática chegou até os nossos dias.

 

 

[1]A MATEMÁTICA NA IDADE MODERNA

Do Renascimento à Revolução Industrial

 

O Início

A Europa ocidental sofreu várias transformações, durante a baixa idade média, que contribuíram de forma significativa para o fim do feudalismo e do modelo econômico que durante mil anos foi a base para esta civilização. Citam-se como os mais importantes:

  • ascensão da burguesia;
  • expansão da atividade comercial;
  • aumento no uso de moedas;
  • obtenção de autonomia do poder senhorial por parte de algumas cidades;
  • disseminação de feiras pela Europa ocidental;
  • perda gradativa de poder por parte da igreja católica,;
  • contestação de dogmas religiosos por parte de filósofos e cientistas, e
  • nova visão de mundo.

A burguesia tinha como objetivo principal o lucro. Com o novo modo de vida urbano, as pessoas passaram a abandonar o campo. Assim, começa um novo êxodo rural, tendo as cidades como principal centro migratório.

O século XIV começa com crises ameaçando destruir toda esta transformação já ocorrida. Estas crises atingem as instituições econômicas, políticas e sociais. A Europa do fim da idade média e começo da idade moderna foi marcada por três grandes calamidades: a guerra, a peste e a fome.

A guerra dos 100 anos, entre Inglaterra e França, deixou muitos senhores feudais na ruína, pois suas propriedades foram arrasadas e seus servos fugiram. Os nobres não tinham como reconstruir seus feudos e não estavam preparados para o novo de produção que começava a surgir. Era preciso, primeiramente, investir em mão-de-obra e somente depois obter algum lucro com a venda da colheita.

Esta ruína da nobreza fundiária faz crescer o poder real com o apoio da burguesia. Florescem os estados monárquicos absolutistas, principalmente Inglaterra e França.

Com as guerras, volta a ser utilizada a via marítima para o transporte de mercadorias, pois o transporte terrestre é prejudicado. Os comerciantes Italianos continuam com um comércio marítimo muito forte. Este comércio, gradualmente, vai se expandindo do mediterrâneo ao atlântico e ao mar do norte, contornando a península ibérica. Graças a esta expansão comercial, descobrem-se as rotas para o mundo novo.

Durante a guerra dos 100 anos a Europa foi varrida por uma grande epidemia: a peste negra. Ela veio da Ásia por meio dos navios Genoveses que faziam o comércio e se alastrou muito e rapidamente pelo continente graças às péssimas condições de higiene dos burgos. Esta epidemia não fez distinção entre ricos e pobres, intelectuais e ignorantes, servos e senhores. Como a contaminação dava-se, também, pelas rotas comerciais que uniam as cidades Européias, milhões de pessoas morreram e povoados inteiros desapareceram. Esta peste negra é apontada como o principal fator que acelerou a crise feudal e fez mudar o pensamento de muitas pessoas sobre a situação do homem no mundo.

A mortandade da população, aliada às péssimas condições da agricultura provocaram a queda da produção de alimentos. Com esta queda na produção, o lucro dos comerciantes cai a níveis muito baixos. Aumentou a especulação. Estas calamidades que abalaram a Europa, o aumento dos impostos e o desejo de liberdade impulsionaram os camponeses à revolta. Levantes armados se espalharam por toda a Europa. Normalmente estes levantes eram sufocados cruelmente pelo poder real ou nobres, que possuíam exércitos particulares. Mesmo assim, conseguiram maior participação nas corporações e o afrouxamento nas relações servis.

Juntamente com todos estes problemas enfrentados neste período, existia ainda o problema da expansão turca contra o continente europeu. Esta expansão havia interrompido o fluxo de mercadorias pela rota da seda, pois os turcos haviam dominado todo o oriente. Foi necessário, aos europeus, descobrir outro caminho para o comércio com a índia e o oriente.

 

A Expansão Marítima

A dominação turca das rotas comerciais ligando o ocidente com o oriente não impediu o fluxo de mercadorias. Porém, os custos das mercadorias era enorme. Aliado a este problema, aconteceu o esgotamento das minas de metais preciosos na Europa. Havia também o aumento populacional, o que acarretava o problema da alimentação para a população, visto que havia falta de produtos agrícolas.

Veneza, junto com os árabes, dominava as principais rotas de navegação do mediterrâneo e monopolizava o comércio e a maior parte do fornecimento de mercadorias.

A navegação no oceano atlântico, de longo alcance, única alternativa possível, exigia técnicas mais avançadas do que a navegação no mediterrâneo. A navegação neste oceano era extremamente adversa e desafiava a perícia dos navegadores.

Para que esta navegação fosse plena de êxito era necessário aprimorar as técnicas de construção de navios, confecção de instrumentos para navegação, melhoria e criação de novas cartas náuticas e geográficas. Foram instrumentos valiosos nesta etapa:

  • invenção da bússola, que aliada ao astrolábio, auxiliou a leitura de latitudes e longitudes;
  • descoberta da imprensa de tipos móveis, que auxiliou a difusão e a confecção de cartas de navegação, e
  • descoberta da pólvora.

Mesmo com todas as descobertas realizadas, ainda havia um grande empecilho para a expansão marítima: os altos custos financeiros. Este problema foi solucionado pela burguesia que começou a financiar as grandes expedições em troca de futuros benefícios. As cortes reais também passaram a financiar estas expedições, em troca de ouro, prata e especiarias.

É evidente que esta expansão marítima necessitava de altos conhecimentos matemáticos e científicos de uma Europa que começava a sair do isolamento marcado pela idade média. Este processo de expansão marítima e comercial foi um dos fatores que fizeram com que a matemática, bem como as demais ciências, tivesse a maior expansão em todos os tempos da história. Esta expansão fez com que o continente europeu chegasse à revolução industrial como potência mundial.

 

O Renascimento Cultural

O desenvolvimento artístico, científico e cultural ocorrido na Europa, denominado Renascimento, foi um movimento que teve em suas concepções:

  • renascimento da antiguidade clássica por meio do estudo da cultura greco-romana, e
  • análise crítica da história passada por meio de uma precisa percepção da história.

O renascimento originou-se no norte da Itália e estendeu-se do início do século XIV ao século XVI. Este movimento fez parte das transformações globais pelas quais passava a Europa ocidental desde o fim da idade média. Depois, este movimento estendeu-se para os demais países europeus, principalmente França, Inglaterra, Alemanha e Polônia.

Podem ser considerados fatores que contribuíram para o desenvolvimento do movimento renascentista:

  • o interesse pelo estudo do direito romano;
  • rejeição ao misticismo medieval;
  • multiplicação das universidades, as quais haviam rompido com a escolástica, ou seja, haviam rompido com o domínio da igreja sobre a construção do conhecimento;
  • apoio de ricos mercadores aos descobrimentos científicos, artísticos e culturais, e
  • queda de Constantinopla, fazendo com que sábios bizantinos fugissem para a Itália, trazendo de volta os escritos gregos com a influência oriental.

O acúmulo de riqueza, ouro e prata, passou a ser muito valorizado. A burguesia lutava pelos seus interesses econômicos e pela ascensão social. Surgem novos segmentos sociais: profissionais liberais e assalariados.

A burguesia, e mesmo o alto clero e a nobreza, patrocinavam artistas. Ser retratado em obras de arte era uma maneira de se conseguir prestígio político. Estes burgueses se tornaram protetores das artes por interesse político e econômico. Ficaram conhecidos como “mecenas”.

A possibilidade de leigos cursarem a universidade levou muitos burgueses a terem acesso à educação. Houve uma preocupação maior com o ser humano, menor com a metafísica, voltou-se mais para as questões cotidianas e da sociedade.

Estas transformações ocorridas na sociedade e no modo de agir da civilização influenciaram diretamente na questão religiosa. A concepção de mundo pregada pela igreja sofreu grandes contestações. Pregava-se, claramente, a divisão entre filosofia e teologia. Rejeitam-se as explicações medievais do mundo. É necessário ao homem conhecer os fatos, testar e experimentar os fenômenos naturais. Hipóteses são testadas por experiências. É o começo do racionalismo, que teve seu auge nos séculos XVII, XVIII e XIX, principalmente com os filósofos franceses.

 

A Reforma Religiosa

Todas estas transformações sociais, políticas e econômicas ocorridas na Europa ocidental fez com que também ocorressem mudanças consideráveis no seio da igreja.  O avanço das ciências e da filosofia no renascimento também estava na origem das críticas à igreja, contrárias às novas idéias. A física e a astronomia renascentistas sustentavam a teoria heliocêntrica e a esfericidade da terra. A igreja mantinha a teoria aristotélica de mundo.

Aliado a estas dificuldades, o comportamento do clero não condizia com as mensagens da bíblia, que estava sendo traduzida para as línguas nacionais européias. A reforma religiosa veio com o intuito, não de dividir a igreja, e sim, de retirar o poder absoluto da igreja sobre as questões de mundo. Todos os reformadores questionavam a influência da igreja nas questões políticas, sociais e econômicas.

Desde o século XII aconteciam movimentos que tentavam realizar algumas reformas religiosas. Alguns movimentos não se sustentaram por falta de coesão interna, outros foram esmagados por força e alguns foram bem sucedidos, causando a cisão da igreja católica.

  • John Wycliff, professor de Oxford, Inglaterra, traduziu a bíblia do latim para o inglês e pregou a libertação da igreja do domínio papal, recusou o culto aos santos e negou as indulgências;
  • Johan Huss, nacionalista boêmio, defendeu as mesmas idéias de Wycliff. Foi preso, excomungado e morto na fogueira;
  • Martinho Lutero, monge agostiniano, alemão, fixou suas 95 teses contra as práticas comuns da igreja, na catedral de Wittemberg. Foi perseguido, excomungado, mas conseguiu que suas idéias ganhassem adesão nas cortes e na nobreza. Sua reforma fez a divisão entre católicos e protestantes. Lutero traduziu a bíblia para o alemão e utilizando a descoberta da imprensa de tipos móveis publicou muitos livros com linguagem acessível à população, contribuindo para a liberdade de expressão.

A reforma religiosa contribuiu muito para o desenvolvimento das ciências, visto que a censura da igreja sobre os assuntos sobre a origem e desenvolvimento do mundo diminuíram bastante.

 

Renascimento das Ciências

Mesmo durante a Idade Média, a ciência tinha uma relativa liberdade de pesquisa. Esta liberdade permitiu que acontecesse um avanço do conhecimento em várias áreas. Pode-se citar como avanços importantes ocorridos com o renascimento:

  • evolução da medicina com os estudos sobre a anatomia humana realizados por Eustáquio, Falópio, Della Torre, Mundius e Da Vinci;
  • desenvolvimento da física e da astronomia, onde se destaca Leonardo da Vinci com estudos sobre hidráulica, mecânica, gravitação universal, navegação submarina e vôo de objetos mais pesados do que o ar;
  • desenvolvimento da teoria heliocêntrica pelo astrônomo polonês Nicolau Copérnico;
  • desenvolvimento mais acentuado da engenharia e arquitetura;
  • estudo da lei da queda dos corpos e da gravitação universal, estudo da via láctea, manchas solares e os satélites de júpiter por Galileu Galilei.

Todas estas descobertas científicas, aliadas ao desenvolvimento do capitalismo pela burguesia levaram a um período extremamente produtivo para as descobertas matemáticas.

 

A expansão da Matemática – Séculos XV e XVI

A queda de Constantinopla frente aos Turcos, faz com que haja um grande afluxo de refugiados para a Itália, principalmente. Por este motivo, vários escritos da civilização grega retornam ao ocidente. Assim, a Europa volta a ter contato com os originais gregos, agora acrescidos das influências orientais.

Outro fator extremamente importante para a difusão dos conhecimentos matemáticos foi a invenção da imprensa de tipos móveis. A comercialização dos livros pode ser aprimorada, o que resultou numa disseminação dos conhecimentos de uma maneira rápida e significativamente mais barata.

O desenvolvimento dos conceitos matemáticos, aritmética, álgebra e trigonometria, estavam centrados, em sua maioria, nas cidades italianas e nas cidades de Nuremberg, Viena e Praga. Estas eram cidades mercantis em desenvolvimento, propiciando um campo fértil para a expansão matemática.

A população volta a ter interesse pela educação. A atividade comercial no Renascimento tem um grande crescimento. Começam a aparecer textos populares de aritmética, em linguagem clássica (latim) para os eruditos e na língua mãe, com o fim de propiciar o ensino aos jovens que tem interesse em seguir a carreira comercial.

A expansão matemática foi tão grande neste período que é impossível relatar todos os avanços obtidos. A matemática passa a ser entendida por especialistas.

  • Nicholas Cusa (1401-1464)

Filho de um pescador pobre, entrou para a igreja e rapidamente se tornou cardeal. Foi governador de Roma. Seus trabalhos matemáticos consistem na reforma do calendário e nas tentativas de quadrar o círculo e trisseccionar o ângulo.

  • Georg Von Peurbach (1423-1463)

Aluno de Nicholas Cusa. Escreveu tratados de aritmética, astronomia e uma tábua de senos. Iniciou uma tradução latina, a partir do grego, do “Almagesto” de Ptolomeu.

  • Johann Muller (1436-1476)

Conhecido como “Regiomontanus”. Estudou com Peurbach e tomou para si o trabalho de traduzir o “Almagesto”. Traduziu também textos de Apolônio, Herão e Arquimedes. Publicou “De Triangulis Omnimodis”, primeira exposição européia sistemática de trigonometria plana e esférica, independente da astronomia. Montou um observatório e, com uma prensa tipográfica escreveu tratados de astronomia. Segundo historiadores construiu uma água mecânica que batia as asas.

  • Nicolas Chuquet

É considerado o mais brilhante matemático francês do século XV. Também se dedicou à medicina. Publicou uma obra de aritmética intitulada: “Triparty em la science des nombres”. Este trabalho enfoca cálculo com números racionais e irracionais e teoria das equações.

  • Luca Pacioli (1445-1509)

Luca Pacioli era um padre franciscano que se dedicou à compilações de álgebra, aritmética e geometria. Publicou “Summa de arithmetica, geométrica, proportioni et proportionalita”. Este trabalho, que contém muito dos assuntos encontrados no “Líber Abaci”, trata de operações fundamentais para a extração de raízes quadradas, escrituração mercantil, equações quadráticas, álgebra sincopada (p, para indicar mais). Publicou ainda “De divina proportione”, com ilustrações de sólidos geométricos feitas por Da Vinci, aluno de Pacioli.

  • Johann Widman (1460-???)

Credita-se a ele o uso, primeiramente, dos sinais de + e -. Estes símbolos eram usados para indicar excesso e deficiência.

  • Robert Recorde (1510-1558)

Deixou pelo menos cinco publicações, sendo “The ground of artes” o seu mais completo livro de aritmética, o qual atingiu 29 tiragens. Também era médico. Fez trabalhos sobre astronomia, geometria, medicina e álgebra.  Apresentou o sistema de Copérnico aos ingleses. É dele a introdução do símbolo (=) para a igualdade.

  • Michael Stifel (1486-1567)

Considerado o maior algebrista alemão do século XIV e XV. Trabalhou com álgebra, números racionais e irracionais. Associou uma progressão aritmética a uma progressão geométrica, antecipando assim a invenção dos logaritmos.

 

O feito matemático mais extraordinário realizado no século XVI foi a descoberta, por matemáticos italianos, da solução algébrica das equações cúbicas e quárticas.

  • Scipione del Ferro (1465-1526)

Professor de matemática da Universidade de Bolonha. Resolveu algebricamente, baseando seu trabalho em textos árabes, a cúbica x³+mx=n. Não publicou seu trabalho, mas revelou seu segredo ao discípulo Antônio Fior.

  • Nicolo Fontana de Brescia (1499-1557)

Mais conhecido como Tartaglia descobriu a solução para a cúbica x³+px²=n. Aprendeu a ler e a escrever sozinho com um caderno que roubara. Foi o primeiro a usar matemática na ciência dos tiros de artilharia. Escreveu a melhor aritmética dos século XVI com tópicos de operações numéricas e da aritmética mercantil. Publicou também edições de Euclides e Arquimedes.

  • Girolamo cardano (1501-1576)

Gênio matemático e médico. Após jurar segredo, conseguiu a fórmula de Tartaglia e publicou a mesma como sendo sua no livro “Ars Magna”. Cardano ainda conseguiu apresentar a solução da equação quártica por meios algébricos neste mesmo livro. Quem resolveu a equação foi seu discípulo Ludovico Ferrari, mas Cardano publicou a resolução. Publicou vários textos sobre aritmética, astronomia, física, medicina.

  • François Viéte (1540-1603)

Maior matemático francês do século XVI. Advogado e membro do parlamento francês. Dedicava-se à matemática por lazer. Tem uma vasta obra, com trabalhos em trigonometria, álgebra e geometria.  “Cânon mathematicus seu ad triangula” é o primeiro livro que desenvolve triângulos planos e esféricos. Muito do simbolismo algébrico se deve a ele. Trabalhou também com teoria das equações. Ele aplicou álgebra à trigonometria e à geometria. Mostrou que o problema da trissecção e da duplicação de um ângulo dependem da solução de uma equação cúbica.

  • Christopher Clavius (1537-1612)

Matemático alemão, publicou uma edição dos “Elementos” de Euclides. Escreveu textos de aritmética, álgebra, trigonometria e astronomia. Participou na reforma do calendário gregoriano.

  • Simon Stevin (1548-1620)

Matemático dos Países Baixos, integrou a armada holandesa. Fez a exposição mais antiga das frações decimais. Contribuiu para a física na área de estática e hidrostática. Também contribuiu em engenharia militar. Inventou um veículo movido a vela que transportava 28 pessoas.

  • Nicolau Copérnico (1473-1543)

Astrônomo polonês. Estudou leis, medicina e astronomia. Apresentou em 1530 sua teoria para o universo, ano de sua morte. Para apresentar este trabalho necessitou de desenvolvimentos na trigonometria. Sua teoria para o universo diferia da usual para a época, a teoria Aristotélica.

  • Georg Joachim Rhaeticus (1514-1576)

Matemático teutônico, aluno de Copérnico. Durante doze anos trabalhou na construção de tábuas trigonométricas notáveis e úteis até hoje. Estas tábuas referem-se as seis funções trigonométricas atuais. Graças a ele que os trabalhos de Copérnico foram publicados.

 

As realizações matemáticas no século XVI constam de: expansão da álgebra simbólica, padronização do cálculo com numerais indo-arábicos, uso comum de frações decimais, resolução de equações cúbica e quárticas por meios algébricos, aprimoramento da trigonometria e progressão da teoria das equações. Estava preparado o campo para a grande expansão que viria a ocorrer a partir do século XVII até o século XIX.

 

Consolidação da Matemática – Séculos XVII e XVIII

O século XVII é extremamente importante no desenvolvimento da matemática. Tivemos o desenvolvimento dos logaritmos, por Napier; contribuição para notação e codificação da álgebra, por Harriot e Ougthred; fundação da ciência da dinâmica por Galileu; Kepler anunciou suas leis do movimento planetário; Desargues e Pascal inauguraram um novo campo da geometria pura; Descartes desenvolveu a geometria analítica; Fermat desenvolveu os fundamentos da teoria dos números; Huygens contribuiu para a teoria das probabilidades; e no final do século, Newton e Leibniz contribuíram para o desenvolvimento do cálculo.

Este grande desenvolvimento da matemática neste período foi partilhado por todas as atividades intelectuais e só foi possível graças aos avanços políticos, econômicos e sociais da época.

Com a política mais favorável no norte da Europa e a superação da barreira do frio e da escuridão durante os longos meses de inverno, há um deslocamento da atividade matemática da Itália para a França e Inglaterra.

Começa uma crescente pesquisa matemática, fora do alcance do leitor comum, pois a maior parte da matemática desse período só pode ser entendida por especialistas.

A astronomia, a navegação, o comércio, a engenharia e a guerra fizeram com que as demandas por cálculos rápidos e precisos crescessem rapidamente. Quatro invenções contribuíram muito para este progresso: notação indo-arábica, frações decimais, logaritmos e modernos computadores.

Serão analisadas as contribuições de vários matemáticos deste período para o desenvolvimento da matemática.

  • John Napier (1550-1617)

Grande parte de sua vida foi dedicada a combater o catolicismo. Publicou um artigo intitulado “A plaine discouery of the whole reuelation of saint John”, propondo provar que o papa era o anticristo. Profetizou também sobre máquinas de guerra, acompanhado de projetos e diagramas. A metralhadora, o submarino e o tanque de guerra concretizaram estas previsões.

Napier deixou como legado quatro produtos de seu gênio: os logaritmos, um dispositivo para reproduzir fórmulas usadas na resolução de triângulos esféricos, fórmulas trigonométricas úteis na resolução de triângulos esféricos obliquângulos e um instrumento usado para multiplicações, divisões e extrair raízes quadradas de números.

Os logaritmos foram criados com o fim de transformar multiplicações e divisões em adições e subtrações. Esta abordagem foi publicada em 1614 em “Mirifici logarithmorum canonis descriptio”. Este trabalho foi complementado e aprimorado por Henry Briggs, professor de geometria de Gresham College de Londres. Os logaritmos de Briggs são, essencialmente, os logaritmos decimais. Logaritmo significa “número de razão”. Esta invenção de Napier foi utilizada por toda a Europa, em especial pelos astrônomos que necessitavam de uma maneira rápida e fácil de desenvolver seus cálculos extremamente lentos e complicados.

  • Thomas Harriot (1560-1621)

Matemático inglês que viveu no século XVI, mas teve sua obra publicada somente no século XVII. Foi o fundador da escola de algebristas dos ingleses. Publicou “Artis analyticae práxis”, o qual analisa a teoria das equações de primeiro, segundo, terceiro e quarto graus. Este assuntos também estão na obra de Viéte, mas Harriot dá um tratamento mais completo. Também foi astrônomo, sendo ele o descobridor das manchas solares e observado os satélites de júpiter, independente de Galileu.

  • William Ougthred (1574-1660)

Clérigo inglês, publicou “Clavis mathematicae”, no qual dá ênfase aos símbolos matemáticos, contribuindo com mais de 150 deles. São adotados por nós hoje: o símbolo de multiplicação (x), os quatro pontos das proporções e o de diferença (-). Também tentou introduzir abreviações para as funções trigonométricas na obra “The circles of proportion”.

  • Galileu Galilei (1564-????)

Astrônomo italiano. Começou seus trabalhos matemáticos ao observar o balanço de um lustre em uma igreja. Observou que o período de oscilação do pêndulo independe da amplitude do arco de oscilação e da massa oscilante e sim do comprimento de sua haste. Formulou  ao largar dois pedaços de metal com pesos diferentes e observar que ambos chegavam ao chão no mesmo momento. Deve-se a Galileu o moderno espírito científico de experiência aliada a teoria. Fundou a mecânica dos corpos em queda livre, fundamentou a dinâmica. Graças a estes fundamentos Newton conseguiu estruturar uma ciência. Por ser muito religiosos, vivam angustiado, pois suas teorias e descobertas contrariavam a teoria Aristotélica de mundo, o que desagradava a igreja. Foi obrigado a abjurar de suas teorias e até o fim de sua vida viveu em prisão domiciliar e seus livros foram postos no índex da igreja por dois séculos. Segundo Galileu: “a bíblia não é e nunca pretendeu ser um texto de astronomia, biologia ou outra ciência qualquer”. (EVES, 2004) Para Galileu “a bíblia não foi criada para nos ensinar verdades científicas que podemos descobrir por conta própria, foi concebida como um livro para revelar verdades espirituais.” (EVES, 2004)

  • Johann Kepler (1571-1630)

Astrônomo alemão. Queria ser ministro luterano, mas um profundo interesse pela astronomia o levou a mudar de planos. Foi assistente do astrônomo sueco Tycho Brahe. Quando o mesmo faleceu subitamente, ele herdou a coleção de dados astronômicos sobre o movimento dos planetas de Brahe. Durante 21 anos ele trabalhou com zelo e paciência para conseguir formular, por meio de cálculos suas leis do movimento planetário. Essas lei são:

i)                           os planetas movem-se em torno do sol em trajetórias elípticas com o sol num dos focos;

ii)                         o raio vetor que liga um planeta ao sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais, e

iii)                        o quadrado de tempo para que um planeta complete sua revolução orbital é diretamente proporcional ao cubo do semi-eixo da órbita.

Essas leis são marcos fundamentais na história da astronomia e da matemática, pois para justificá-las, Newton foi levado a criar a mecânica celeste moderna. Além do que, 1800 anos depois que Apolônio desenvolveu as seções cônicas, foi determinada uma aplicação prática para as mesmas. Kepler também foi precursor do cálculo, pois para formular sua segunda lei ele necessitou de noções fundamentais do que hoje conhecemos como cálculo infinitesimal.

  • Gerard Desargues (1591-1661)

Engenheiro e Arquiteto francês, oficial do exército. Escreveu um tratado original sobre seções cônicas, nove anos após a morte de Kepler. Seu trabalho foi negligenciado e acabou sendo esquecido, junto com suas cópias, que foram destruídas. Em 1845, Michel Chasles encontrou uma cópia manuscrita do tratado, feita por Philippe de La Hire, discípulo de Desargues. Desde então este trabalho é considerado um clássico do desenvolvimento da geometria projetiva sintética. Este trabalho foi muito utilizado por Poncelet em suas teorizações.

  • Blaise Pascal (1623-1662)

Foi um dos poucos contemporâneos de Desargues que soube apreciar sua obra. Pascal foi matemático francês. Tinha uma saúde muito frágil e veio a falecer com 39 anos de idade. Durante sua curta vida apresentou muitas contribuições para o desenvolvimento da matemática. Aos 16 anos publicou um trabalho sobre seções cônicas, o qual Descartes duvidou de que fosse de sua autoria. Aos 19 anos inventou a primeira máquina de calcular. Aos 21 anos interessou-se sobre os trabalhos de Torricelli sobre pressão atmosférica. Com este interesse, deixou para a física “Principio da hidrodinâmica de Pascal”. Conduziu experiências sobre pressão dos fluidos e junto com Fermat lançou os fundamentos da teoria das probabilidades.

 

Desargues e Pascal abriram o campo da geometria projetiva. Ao mesmo tempo, Descartes e Fermat abriam o campo da geometria analítica. Qual a diferença entre as duas? A geometria projetiva é um ramo da geometria, enquanto a geometria analítica é um método da geometria.

 

  • René Descartes (1596-1650)

Matemático e filósofo francês. Teve uma carreira militar durante vários anos, junto ao príncipe Mauricio de Orange. Em Paris, após sair da vida militar, se dedicou a construção de instrumentos ópticos. Depois, mudou-se para a Holanda, onde veio a se dedicar inteiramente à matemática e à filosofia. “Le monde” contém uma descrição física do universo. Abandonou a mesma, pois soube da condenação de Galileu pela igreja. Depois escreveu “”Discurso do método para bem conduzir a razão e procurar a verdade nas ciências”.  Este tratado tinha três apêndices: La diptrique, Lês météores, la geometrie. Neste último se encontra a base de todo o desenvolvimento da geometria analítica.

  • Pierre de Fermat (1601?-1665)

Matemático francês, que juntamente com Descartes, desenvolveu os fundamentos da geometria analítica. Em “Isogoge ad lócus planos et sólidos” encontramos a equação geral da reta e da circunferência e uma discussão sobre parábolas, elipses e hipérboles. Ao contrário de Descartes, Fermat partia de uma equação e então estudava o lugar geométrico correspondente. Fermat usou a notação de Viéte para escrever seu trabalho, o que acarretou em prejuízo para si. Fermat deixou muitos teoremas que foram comprovados com o passar dos anos. Atualmente, o “último teorema de Fermat” é o único que ainda não foi comprovado. xn+yn=zn para n>2. Este teorema é o que mais demonstrações erradas apresenta em todos os tempos.

  • Christiaan Huygens (1629-1695)

Matemático Holandês. Aos 21 anos publicou um trabalho questionando argumentos falsos usados para demonstrar a quadratura do circulo. Junto com seu irmão resolvereu muitas questões de astronomia de observação. Isto o levou a inventar o relógio de pêndulo, para ter meios mais precisos de medir o tempo. Escreveu o primeiro tratado formal sobre probabilidade e introduziu o conceito de esperança matemática.

 

A expansão da Matemática – O Cálculo

De todas as descobertas e desenvolvimentos obtidos pela matemática neste período, a mais notável e mais importante foi a invenção do cálculo por Newton e Leibniz. Com esta descoberta, a matemática passou a um plano superior e a história da matemática elementar, terminou.

É interessante observar que o desenvolvimento do cálculo foi feito em ordem inversa ao modo como é ensinado nas universidades hoje. Primeiro desenvolveu-se o conceito de integração originado em processos somatórios ligados ao cálculo de áreas, volumes e comprimentos. Depois trabalhou-se com o conceito de diferenciação, baseado em problemas sobre tangentes à curvas, máximos e mínimos. Somente depois de algum tempo observou-se que integração e diferenciação eram operações inversas.

Mesmo que estes conceitos tenham sido desenvolvidos, basicamente, no século XVII é necessário lembrar que a base deste desenvolvimento começou no século V a.C. com os gregos.

  • Paradoxos de Zenão

Há evidências de que na Grécia antiga se desenvolveram escolas de raciocínio matemático que abraçavam as seguintes premissas:

i)                    uma grandeza pode ser subdividida indefinidamente, e

ii)                   uma grandeza é formada de um número muito grande de partes atômicas indivisíveis.

O filósofo Zenão de Eléia chamou a atenção para as dificuldades ocultas nestas premissas através de paradoxos desenvolvidos, os quais influenciaram profundamente a matemática. Dois destes paradoxos, os quais tem a ver com o cálculo, são assim apresentados:

i)                             Dicotomia: se um segmento de reta pode ser subdividido indefinidamente, então o movimento é impossível, pois para percorrê-lo é preciso primeiro alcançar seu ponto médio;

ii)                            A flecha: se o tempo é formado de instantes atômicos indivisíveis, então uma flecha em movimento está sempre parada.

Qualquer que tenha sido a motivação para estes paradoxos, eles excluíram os infinitesimais.

  • Método de Exaustão de Eudoxo

Consta que Antífon teria antecipado a idéia de que, por sucessivas duplicações do número de lados de um polígono regular inscrito em um círculo, a diferença entre o círculo e o polígono, por fim terminaria. Mesmo muito contestada, esta abordagem apresentava o início do método de exaustão. O método de exaustão foi uma resposta da escola platônica aos paradoxos de Zenão e foi desenvolvido por Eudoxo. Este método consiste em admitir que uma grandeza possa ser subdividida indefinidamente.

De todos os matemáticos da antiguidade, quem melhor aproveitou este conceito em seus trabalhos foi Arquimedes. Em suas abordagens de áreas e volumes ele chegou a resultados muito próximos a algumas integrais definidas hoje, as quais estão presentes nos vários livros de cálculo.

  • O Método do Equilíbrio de Arquimedes

O método de exaustão é rigoroso, mas extremamente trabalhoso. Parte do princípio de que conhecida a fórmula, o método de exaustão é o caminho para prová-la.

No livro “O método”, descoberto em 1906, tratado escrito por Arquimedes, mostra que para determinar a área ou o volume, deve-se cortar a região correspondente num número muito grande de tiras planas ou fatias paralelas finas e (mentalmente) pendurar esses pedaços numa das alavancas dadas, de tal maneira a estabelecer o equilíbrio com uma figura de área ou volume e centróide conhecidos. Por este método, Arquimedes descobriu a fórmula do volume da esfera.

  • A Integração na Europa Ocidental

Somente por volta de 1450 os trabalhos de Arquimedes chegaram à Europa, através de uma tradução descoberta em Constantinopla e revisada por Regiomontanus e impressa em 1540.

Johan Kepler foi um dos primeiros europeus ocidentais a utilizar o trabalho de Arquimedes. Kepler tinha pouca paciência com o rigor exigido pelo método de exaustão e para ganhar tempo e economizar trabalho começou a desenvolver meios de aprimorar este método.

Bonaventura Cavalieri, aluno de Galileu, matemático brilhante, elaborou uma vasta obra que abrangia matemática, óptica e astronomia. Foi o responsável pela introdução dos logaritmos na Europa. No tratado “Geometria Indivisibilibus” ele apresenta o seu método dos indivisíveis. Este método cita Arquimedes e Demócrito, mas teve como inspiração o trabalho de Kepler para determinar áreas e volumes. Cavalieri apresentou alguns princípios:

i)                           se duas porções planas são tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determina nas porções segmentos de reta cuja razão é constante, então a razão entre as retas dessas porções é a mesma constante;

ii)                         se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado determina nos sólidos secções cuja razão é constante, então a razão entre os volumes desses sólidos é a mesma constante.

Estes princípios representam ferramentas poderosas para o cálculo de áreas, volumes e comprimentos.

  • A Diferenciação

A diferenciação originou-se dos problemas relativos ao traçado de tangentes a curvas e problemas envolvendo máximos e mínimos. A exposição clara do método diferencial só é exposta de maneira mais precisa em 1629, por Pierre de Fermat.

Baseado na idéia de Kepler de que os incrementos de uma função tornam-se infinitesimais nas vizinhanças de um ponto de máximo ou de mínimo, Fermat transformou esse fato em um processo para determinar este pontos de máximo ou de mínimo. Este processo de Fermat tinha alguns pontos falhos: não distinguia entre valor máximo ou mínimo e que a condição da derivada de f(x) se anular não é suficiente para se ter um máximo ou um mínimo.

  • Wallis e Barrow

Estes dois matemáticos foram os predecessores imediatos de Newton na Inglaterra.

John Wallis (1616-1703) foi um dos matemáticos mais capazes de seu tempo. Ele foi o primeiro a ensinar um sistema de ensino para surdos. Na sua publicação “Arithmetica  infinitorum”  ele sistematiza e estende os métodos de Descartes e Cavalieri. Wallis foi o primeiro a explicar de maneira satisfatória o significado dos expoentes zero, negativos e fracionários, bem como a introdução do símbolo de infinito (¥).

Isaac Barrow (1630-1677) é considerado o maior especialista em grego de seu tempo. Extremamente produtivo em matemática, física, astronomia e teologia. Foi o primeiro ocupante da cátedra lucasiana de Cambridge. Ao renunciar à cátedra, para se tornar o capelão de Carlos II, indicou para seu lugar, seu discípulo: Isaac Newton.

Neste momento do desenvolvimento do cálculo, muito já havia sido feito: integrações, cubaturas, quadraturas, inicio de processos de diferenciação, idéia inicial de limites e o teorema fundamental já estava desenvolvido. Faltava ainda a criação de um simbolismo geral com um conjunto sistemático de regras analíticas formais que fundamentasse a matéria. É neste ponto que surgem Newton, Leibniz e Cauchy. Newton e Leibniz criaram um cálculo manipulável e proveitoso, enquanto Cauchy fez o redesenvolvimento dos conceitos fundamentais em bases aceitáveis.

  • Os “Criadores” do Cálculo

Isaac Newton(1642-1727) desde jovem possuía habilidade para projetar miniaturas mecânicas. Consta que ele construiu um moinho de brinquedo para moer farinha usando a força motriz de um rato. Construiu ainda um relógio de madeira movido a água. Foi no período em que esteve em Cambridge que escreveu seus maiores trabalhos. Durante o desenvolvimento do cálculo se viu envolvido em discussões de baixo nível, alimentadas por terceiros, com Leibniz. Os matemáticos ingleses tomaram o partido de Newton e voltaram as costas ao continente, razão pela qual, por cem anos, o progresso matemático foi retardado na Inglaterra. São trabalhos por ele desenvolvidos:

* teoria ondulatória da luz;

* álgebra e teoria das equações;

* lei da gravitação;

* mecânica celeste;

* justificação das leis do movimento planetário de Kepler.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-????) é considerado um gênio universal do século XVII e rival de Newton no desenvolvimento do cálculo. Com 12 anos dominava todo o conhecimento matemático, filosófico, teológico e de direito corrente no período. Nesta idade começou a escrever “Characteristica generalis”, que envolvia matemática universal, que foi ponto de partida para a álgebra simbólica de Boole. Trabalhou durante sua vida no serviço diplomático na corte de Hanover. Leibniz desenvolveu o teorema fundamental do cálculo, grande parte da notação para o assunto e fórmulas elementares de diferenciação. Com a invenção do seu cálculo, entre 1673 e 1676, ele utilizou pela primeira vez o símbolo de integral   derivado da primeira letra latina Summa (soma), que tinha por objetivo indicar uma soma de indivisíveis. Logo depois ele já escrevia diferenciais como conhecemos hoje.

Também é creditado a Leibniz a criação da teoria dos determinantes, apesar de que Seki Kowa, japonês, dez anos antes, já havia feito considerações importantes sobre o assunto.

O primeiro texto de cálculo foi publicado em 1696 pelo marquês de L’hospital (1661-1674) com lições que recebera de seu professor particular Johann Bernoulli.

  • Exploração do Cálculo

Depois que Newton e Leibniz definiram as regras para o cálculo, vários matemáticos concentraram sua aplicação na mecânica. Muitos destes matemáticos estavam ligados à filósofos do iluminismo.

 

  • A família Bernoulli

Desde o final do século XVII até a época atual esta família tem produzido cientistas em todas as gerações. Nikolaus Bernoulli (1623-1708), Jakob (1654-1705), Nikolaus (1662-1716), Johann (1667-1748), Nikolaus I (1687-1759), Nikolaus II (1695-1726) e Daniel (1700-1782) fizeram grandes contribuições ao desenvolvimento da matemática. Dentre elas, podemos citar: cálculo diferencial e integral, equações diferenciais ordinárias, coordenadas polares, estudo da catenária, estudo da lemniscata, da espiral logarítmica e da isócrona, figuras isoperimétricas, permutações, combinações e distribuições binomiais. Além disto, apresentaram trabalhos nas áreas de astronomia, física, fisiologia e hidrodinâmica. Teoria das cordas vibrantes e séries trigonométricas.

  • Leonhard Euler

Euler foi aluno de Johann Bernoulli. Euler, matemático suíço, considerado o maior escritor de textos matemáticos. Suas publicações totalizam 886 artigos, textos e livros matemáticos. Muitos deles escritos quando Euler já estava parcialmente cego ou mesmo cego. Escreveu textos em matemática pura e aplicada. Seus textos trazem publicações sobre todos os assuntos matemáticos conhecidos na época. Laplace, Lagrange e Gauss conheceram e seguiram Euler em todos os seus trabalhos.

Existem livros de Euler sobre hidráulica, construção de navios e sobre artilharia, bem como sobre ciência natural. Mesmo com Euler sendo o principal matemático neste período, na França vários matemáticos viram a trazer perfeição às teorias de Newton.

  • Pierre de Maupertius

Matemático francês, conhecido como “o grande aplanador”, pois em 1736-1737 comandou uma expedição ao Peru e outra à Suíça onde mediram um arco de meridiano e um arco de longitude, vindo a validar a teoria de Newton de que a terra é achatada nos pólos. Maupertius tentou formular um princípio geral pelo qual as leis do universo pudessem ser unificadas. Combinou sua formulação como uma prova da existência de Deus, sendo ridicularizado pelo filósofo Voltaire.

  • Aléxis Claude Clairaut

Aos 18 anos de idade publicou um tratado na tentativa de tratar a geometria analítica e diferencial das curvas espaciais e um tratado sobre o equilíbrio dos fluidos e a atração dos elipsóides de revolução. Também fez contribuições para os integrais de linha e equações diferenciais.

  • Jean Lê Rond D’Alembert

Matemático brilhante, escreveu tratados sobre vários assuntos na matemática, dentre estes podemos destacar: método de reduzir a dinâmica dos corpos sólidos à estártica, hidrodinâmica, aerodinâmica, teoria das cordas vibrantes, teoria das equações diferenciais às derivadas parciais e noções de limites.

  • Joseph-Louis Lagrange

Matemático francês, que nasceu em Turim, Itália. Apresentou contribuições muito importantes em cálculo das variações, partindo dos trabalhos de Euler. Usando a formulação dele aplicou a sua teoria em problemas de dinâmica. Em 1767 apresentou métodos para separar raízes reais de uma equação algébrica e para aproximá-las, por meio de frações contínuas. Trabalhou em equações de grau n>4.

  • Pierre Simon Laplace

É considerado o último dos matemáticos do século XVIII, mas não menos importante que os demais. O seu tratado “Mecanique céleste” foi o culminar dos trabalhos de Newton, Clairaut, D’Alembert, Euler e Lagrange. No texto “Theorie analytique des probabilités” Laplace apresenta toda a estruturação dos conceitos que envolvem o cálculo das probabilidades.

 

Muitos matemáticos, ao final do século XVIII expressaram o sentimento de que as descobertas matemáticas estavam saturadas. Segundo eles, os matemáticos das gerações vindouras apenas iriam desvendar problemas de menor envergadura. Desde a antiga babilônia até Laplace e Euler, a astronomia guiou e inspirou as mais sublimes descobertas na matemática. No fim do século XVIII este desenvolvimento parecia ter atingido seu máximo. Mas, uma nova geração, inspirada pela revolução francesa e impulsionada pela revolução industrial veio demonstrar que este pessimismo era infundado.

 

História da matemática desde o século IX a.C

 

“LISA - BIBLIOTECA DA MATEMÁTICA MODERNA:
ANTÔNIO MARMO DE OLIVEIRA.”

Por volta dos séculos IX e VIII a.C a matemática engatinhava na Babilônia. Os babilônios e os egípcios já tinham uma álgebra e uma geometria, mas somente o que bastasse para as suas necessidades práticas, e não de uma ciência organizada. Na Babilônia, a matemática era cultivada entre os escrivas responsáveis pelos tesouros reais. Apesar de todo material algébrico que tinham os babilônios e egípcios, só podemos encarar a matemática como ciência, no sentido moderno da palavra, a partir dos séculos VI e V a.C. na Grécia.

A matemática grega se distingue da babilônica e egípcia pela maneira de encará-la. Os gregos fizeram-na uma ciência propriamente dita sem a preocupação de suas aplicações práticas.

Do ponto de vista de estrutura, a matemática grega se distingue da anterior, por ter levado em conta problemas relacionados com processos infinitos, movimento e continuidade. As diversas tentativas dos gregos de resolverem tais problemas fizeram com que aparecesse o método axiomático-dedutivo. Este método consiste em admitir como verdadeiras certas preposições (mais ou menos evidentes) e a partir delas, por meio de um encadeamento lógico, chegar a proposições mais gerais. As dificuldades com que os gregos depararam ao estudar os problemas relativos a processos infinitos (sobretudo problemas sobre números irracionais) talvez sejam as causas que os desviaram da álgebra, encaminhando-os em direção à geometria. Realmente, é na geometria que os gregos se destacam, culminando com a obra de Euclides, intitulada "Os Elementos". Sucedendo Euclides, encontramos os trabalhos de Arquimedes e de Apolônio de Perga.

Arquimedes desenvolve a geometria, introduzindo um novo método, denominado "método de exaustão", que seria um verdadeiro germe do qual mais tarde iria brotar um importante ramo de matemática (teoria dos limites). Apolônio de Perga, contemporâneo de Arquimedes, dá início aos estudos das denominadas curvas cônicas: a elipse, a parábola, e a hipérbole, que desempenham, na matemática atual, papel muito importante. No tempo de Apolônio e Arquimedes, a Grécia já deixara de ser o centro cultural do mundo. Este, por meio das conquistas de Alexandre, tinha-se transferido para a cidade de Alexandria. Depois de Apolônio e Arquimedes, a matemática grega entra no seu ocaso.

Dia dez de dezembro de 641, cai a cidade de Alexandria sob a verde bandeira de Alá. Os exércitos árabes, então empenhados na chamada Guerra Santa, ocupam e destroem a cidade, e com ela todas as obras dos gregos. A ciência dos gregos entra em eclipse. Mas a cultura helênica era bem forte para sucumbir de um só golpe; daí por diante a matemática entra num estado latente. Os árabes, na sua arremetida, conquistam a Índia encontrando lá um outro tipo de cultura matemática: a Álgebra e a Aritmética.

Os hindus introduzem um símbolo completamente novo no sistema de numeração até então conhecido: o ZERO. Isto causa uma verdadeira revolução na "arte de calcular". Dá-se início à propagação da cultura dos hindus por meio dos árabes. Estes levam à Europa os denominados "Algarismos arábicos", de invenção dos hindus. Um dos maiores propagadores da matemática nesse tempo foi, sem dúvida, o árabe Mohamed Ibn Musa Alchwarizmi, de cujo nome resultou em nossa língua as palavras algarismos e Algoritmo.

Alchwarizmi propaga a sua obra, "Aldschebr Walmakabala", que ao pé da letra seria: restauração e conforto. (É dessa obra que se origina o nome Álgebra). A matemática, que se achava em estado latente, começa a se despertar. No ano 1202, o matemático italiano Leonardo de Pisa, cognominado de "Fibonacci" ressuscita a Matemática na sua obra intitulada "Leber abaci" na qual descreve a "arte de calcular" (Aritmética e Álgebra). Nesse livro Leonardo apresenta soluções de equações do 1º, 2º e 3º graus. Nessa época a Álgebra começa a tomar o seu sapecto formal. Um monge alemão. Jordanus Nemorarius já começa a utilizar letras para significar um número qualquer, e ademais introduz os sinais de + (mais) e - (menos) sob a forma das letras p (plus = mais) e m (minus = menos).

Outro matemático alemão, Michael Stifel, passa a utilizar os sinais de mais (+) e menos (-), como nós os utilizamos atualmente. É a álgebra que nasce e se põe em franco desenvolvimento. Tal desenvolvimento é finalmente consolidado na obra do matemático francês, François Viète, denominada "Álgebra Speciosa". Nela os símbolos alfabéticos têm uma significação geral, podendo designar números, segmentos de retas, entes geométricos etc.

 

 

 

No século XVII, a matemática toma nova forma, destacando-se de início René Descartes e Pierre Fermat. A grande descoberta de René Descartes foi sem dúvida a "Geometria Analítica" que, em síntese, consiste nas aplicações de métodos algébricos à geometria. Pierre Fermat era um advogado que nas horas de lazer se ocupava com a matemática. Desenvolveu a teoria dos números primos e resolveu o importante problema do traçado de uma tangente a uma curva plana qualquer, lançando assim, sementes para o que mais tarde se iria chamar, em matemática, teoria dos máximos e mínimos. Vemos assim no século XVII começar a germinar um dos mais importantes ramos da matemática, conhecido como Análise Matemática. Ainda surgem, nessa época, problemas de Física: o estudo do movimento de um corpo, já anteriormente estudados por Galileu Galilei. Tais problemas dão origens a um dos primeiros descendentes da Análise: o Cálculo Diferencial.

O Cálculo Diferencial aparece pela primeira vez nas mãos de Isaac Newton (1643-1727), sob o nome de "cálculo das fluxões", sendo mais tarde redescoberto independentemente pelo matemático alemão Gottfried Wihelm Leibniz. A Geometria Analítica e o Cálculo dão um grande impulso à matemática. Seduzidos por essas novas teorias, os matemáticos dos séculos XVII e XVIII, corajosa e despreocupadamente se lançam a elaborar novas teorias analíticas. Mas nesse ímpeto, eles se deixaram levar mais pela intuição do que por uma atitude racional no desenvolvimento da ciência. Não tardaram as conseqüências de tais procedimentos, começando por aparecer contradições. Um exemplo clássico disso é o caso das somas infinitas, como a soma abaixo:

S = 3 - 3 + 3 - 3 + 3...........

Supondo que se tenha um número infinito de termos. Se agruparmos as parcelas vizinhas teremos:

S = (3 - 3) + (3 - 3) + ...........= 0 + 0 +.........= 0

Se agruparmos as parcelas vizinhas, mas a partir da 2ª, não agrupando a primeira:

S = 3 + ( - 3 + 3) + ( - 3 + 3) + ...........= 3 + 0 + 0 + ......... = 3

O que conduz a resultados contraditórios. Esse "descuido" ao trabalhar com séries infinitas era bem característico dos matemáticos daquela época, que se acharam então em um "beco sem saída”. Tais fatos levaram, no ocaso do século XVIII, a uma atitude crítica de revisão dos fatos fundamentais da matemática. Pode-se afirmar que tal revisão foi a "pedra angular" da matemática. Essa revisão se inicia na Análise, com o matemático francês Louis Cauchy (1789 - 1857), professor catedrático na Faculdade de Ciências de Paris. Cauchy realizou notáveis trabalhos, deixando mais de 500 obras escritas, das quais destacamos duas na Análise: "Notas sobre o desenvolvimento de funções em séries" e "Lições sobre aplicação do cálculo à geometria". Paralelamente, surgem geometrias diferentes da de Euclides, as denominadas Geometrias não euclidianas.

Por volta de 1900, o método axiomático e a Geometria sofrem a influência dessa atitude de revisão crítica, levada a efeito por muitos matemáticos, dentre os quais destacamos D. Hilbert, com sua obra "Fundamentos da Geometria" ("Grudlagen der Geometrie" título do original), publicada em 1901. A Álgebra e a Aritmética tomam novos impulsos. Um problema que preocupava os matemáticos era o da possibilidade ou não da solução de equações algébricas por meio de fórmulas que aparecessem com radicais. Já se sabia que em equações do 2º e 3º graus isto era possível; daí surgiu a seguinte questão: será que as equações do 4º graus em diante admitem soluções por meio de radicais?

Em trabalhos publicados por volta de 1770, Lagrange (1736 - 1813) e Vandermonde (1735-96) iniciaram estudos sistemáticos dos métodos de resolução. À medida que as pesquisas se desenvolviam no sentido de achar tal tipo de resolução, ia se evidenciando que isso não era possível. No primeiro terço do século XIX, Niels Abel (1802-29) e Evariste de Galois (1811-32) resolvem o problema, demonstrando que as equações do quarto e quinto grau em diante não podiam ser resolvidas por radicais. O trabalho de Galois, somente publicado em 1846, deu origem à chamada "teoria dos grupos" e à denominada "Álgebra Moderna", dando também grande impulso à teoria dos números.

Com respeito à teoria dos números não nos podemos esquecer das obras de R. Dedekind e Gorg Cantor. R. Dedekind define os números irracionais pela famosa noção de "Corte". Georg Cantor dá início à chamada Teoria dos conjuntos, e de maneira arrojada aborda a noção de infinito, revolucionando-a. A partir do século XIX a matemática começa então a se ramificar em diversas disciplinas, que ficam cada vez mais abstratas.

Atualmente se desenvolvem tais teorias abstratas, que se subdividem em outras disciplinas. Os entendidos afirmam que estamos em plena "idade de ouro" da Matemática, e que nestes últimos cinqüenta anos tem se criado tantas disciplinas, novas matemáticas, como se haviam criado nos séculos anteriores. Esta arremetida em direção ao "Abstrato", ainda que não pareça nada prática, tem por finalidade levar adiante a "Ciência". A história tem mostrado que aquilo que nos parece pura abstração, pura fantasia matemática, mais tarde se revela como um verdadeiro celeiro de aplicações práticas.

 

 

 

História do Grau

Em livros de matemática, é comum encontramos afirmações de que o ângulo reto mede 90º e que o ângulo raso mede 180º. Mas, qual é a razão para os valores serem justamente 90 e 180?

 

No ano de 4000 a.C., quando egípcios e árabes tentavam elaborar um calendário, acreditava-se que o Sol girava em torno da Terra numa órbita que levava 360 dias para completar uma volta. Desse modo, a cada dia o Sol percorria uma parcela dessa órbita, ou seja, um arco de circunferência de sua órbita.

A esse arco fez-se corresponder um ângulo cujo vértice era o centro da Terra e cujos lados passavam pelas extremidades de tal arco. Assim, esse ângulo passou a ser uma unidade de medida e foi chamado de grau ou ângulo de um grau.

 


Logo, para os antigos egípcios e árabes, o grau era a medida do arco que o Sol percorria em torno da Terra durante um dia. Hoje, sabemos que é a Terra que gira em torno do Sol, porém manteve-se a tradição e convencionou-se dizer que o arco de circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência.

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 



[1] O autor, Marcos Leandro Ohse é Licenciado em Matemática e Mestre em Matemática pela UNIJUI – Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul e professor DE da UNIR – Universidade Federal de Rondônia, onde atua nos cursos de Licenciatura em Matemática e Física.

 

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